[学习笔记] 二阶常系数线性齐次递推式的通项公式

• 参考 liuzibujian的博客。

问题

• 给出递推式 $f_n = a f_{n - 1} + b f_{n - 2}$，已知 $f_0, f_1$，求 $f_n$ 的通项公式。

结论

• 设 $x_1, x_2$ 为方程 $x^2 - ax - b = 0$ 的两根（可以为复数）。
  • 若 $x_1 \neq x_2$， $f_n = Ax_1^n + Bx_2^n$。
  • 若 $x_1 = x_2$， $f_n = (A + Bn)x_1^n$。
• 其中 $A,B$ 可以根据 $f_0, f_1$ 列方程组解出。

证明

• 由于博主的水平原因只能先这么写了 。
• 尝试把递推式表示成等比数列的形式：
  $\begin{aligned} f_n - x_1 f_{n - 1} &= x_2(f_{n - 1} - x_1f_{n-2})\\ f_n &= (x_1 + x_2) f_{n - 1} - x_1x_2 f_{n - 2} \\ \end{aligned}$
• 可以列出一个方程组：
  $\begin{cases} x_1 + x_2 = a\\ x_1 x_2 = -b\\ \end{cases}$
• 由韦达定理得， $x_1,x_2$ 是方程 $x^2 - ax - b = 0$ 的两根。
• 设 $c = f_1 - x_1f_0$，可列出 $n$ 个方程：
  $\begin{cases} f_1 - x_1 f_0 &= c \\ f_2 - x_1 f_1 &= c x_2 \\ f_3 - x_1 f_2 &= c x_2^2 \\ &…\\ f_n - x_1 f_{n - 1} &= c x_2 ^{n - 1} \\ \end{cases}$
• 将第 $i$ 个方程乘上 $x_1^{n - i}$，然后将所有方程相加，得到：
  $\begin{aligned} f_n - x_1^n f_0 = cx_1^{n - 1} \sum \limits_{i = 0}^{n - 1}\left(\frac{x_2}{x_1}\right)^{i}\\ \end{aligned}$
• 若 $x_1 = x_2$，
  $\begin{aligned} f_n - x_1^n f_0 &= cnx_1^{n - 1}\\ f_n &= cnx_1^{n - 1} + x_1^nf_0\\ f_n &= \left(f_0 + \frac{c}{x_1} n \right) x_1^n \\ \end{aligned}$
• 此时 $A = f_0, B = \frac{c}{x_1}$。
• 若 $x_1 \neq x_2$，由等比数列求和得
  $\begin{aligned} f_n - x_1^n f_0 &= cx_1^{n - 1} \frac{\left( \frac{x_2}{x_1}\right)^{n} - 1}{\frac{x_2}{x_1} - 1}\\ f_n &= c \frac{x_2^n - x_1^n}{x_2 - x_1} + x_1^n f_0 \\ f_n &= \left(f_0 - \frac{c}{x_2 - x_1} \right)x_1^n + \frac{c}{x_2 - x_1}x_2^n\\ \end{aligned}$
• 此时 $A = f_0 - \frac{c}{x_2 - x_1}, B = \frac{c}{x_2 - x_1}$。
• 证毕。