二阶常系数齐次线性微分方程（结论）

二阶常系数齐次线性微分方程

方程： $y{''}+py{'}+qy=0$ 称为二阶常系数齐次线性微分方程, 其中 $p\ q$均为常数

如果 $y_1\ y_2$是方程的两个线性无关解, 那么 $y=C_1y_1+C_2y_2$就是它的通解.

若能适当选取 $r$, 使 $y=e^{rx}$ 满足二阶常系数齐次线性微分方程,

将 $y=e^{rx}$代入方程 $y{''}+py{'}+qy=0$

得 $(r^2+pr+q) e^{rx} =0$

由此可见, 只要 $r$满足代数方程 $r^2+pr+q=0$, 函数 $y=e^{rx}$就是微分方程的解

方程 $r^2+pr+q=0$ 叫做微分方程 $y{''}+py{'}+qy=0$ 的特征方程

特征方程的根与通解的关系:

(1)特征方程有两个不相等的实根 $r_1 r_2$时:

函数 $y_1=e^{r_1x}\ \ y_2=e^{r_2x}$ 是方程的两个线性无关的解.

因为： $\frac{y_1}{y_2}=\frac{e^{r_1x}}{e^{r_2x}}=e^{(r_1-r_2)x}$不是常数

因此，方程通解为： $y=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}$

(2)特征方程有两个相等的实根 $r_1=r_2$时;

函数 $y_1=e^{r_1x}\ \ y_2=xe^{r_1x}$ 是方程的两个线性无关的解.

因为：

$(xe^{r_1x}){''}+p(xe^{r_1x})'+q(xe^{r_1x})$

$=e^{r_1x}(2r_1+p)+xe^{r_1x}(r^2+pr+q)=0$

所以 $y_2=xe^{r_1x}$也是方程的解 且 $\frac{y_1}{y_2}= \frac{e^{r_1x}}{xe^{r_1x}}=\frac{1}{x}$不是常数

所以方程的通解为： $y=C_1e^{r_1x}+C_2xe^{r_1x}$

(3)特征方程有一对共轭复根 $r_1\ r_ 2=a\pm ib$时:

函数 $y_1=e^{(α+iβ)x}\ y_2==e^{(α-iβ)x}$ 是方程的两个线性无关的复数解.

函数 $y_1=e^{αx}cosβx\ y_2=e^{αx}sinβx$是方程的两个线性无关的实数解.

由欧拉定理得：

$y_1=e^{(α+iβ)x}=e^{αx}(cosβx+isinβx)$

$y_2=e^{(α-iβ)x}=e^{αx}(cosβx-isinβx)$

$y_1+y_2=2e^{αx}cosβx\ \ \ e^{αx}cosβx=\frac{1}{2}(y_1+y_2)$

$y_1-y_2=2ie^{αx}sinβx\ \ \ e^{αx}sinβx=\frac{1}{2i}(y_1-y_2)$

故 $e^{αx}cosβx \ \ e^{αx}sinβx$也是方程的解

可以验证, $y_1=e^{αx}cosβx、y_2=e^{αx}sinβx$是方程的线性无关解

因此方程的通解为

$y=e^{ax}(C_1cosβx+C_2sinβx ).$