二阶常系数线性微分方程

二阶常系数线性微分方程一般形式

        y'' +p y' + qy = f(x)                                               ①

(下面用到r1、r2、y1、y2、C1、C2)

一、二阶常系数齐次线性方程

        其一般形式

        y'' + py' + qy = 0                                             ②

        即①式中的f(x) = 0，求该式通解，直接运用定理得知②的通解

         y = C1y1(x) + C2y2(x)

        接着只需求解出y1(x)和y2(x)的解就ok了。

        可以将②式写成                                                 (也可理解将y的n次导看成r的n次方)

        （r^2 + p*r + q）e^rx = 0 

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         => （r^2 + p*r + q） = 0                               ③

        接着就是求解方程③(称为特征方程)的根r1、r2，

        该特征方程求根可以分成三种情况去讨论：

    1.p^2 - 4q > 0 ，③式有两个不相等的根r1、r2,即

       y = C1*e^r1x + C2*e^r2x 

    2.p^2 - 4q = 0 ，③式有两个相等的根r,即

       y = C1*e^rx + C2*xe^rx 

    3.p^2 - 4q < 0 ，③式有一对共轭复根(无实数根),即

       y=e^αx (C1*cosβx + C2*sinβx)

       其中α = -(b/2a) ,β = (√-△) / 2a  .            (注: a,b为特征方程项系数 ,△为p^2 - 4q)

二、二阶常系数非齐次线性方程

      其一般形式

       y'' +p y' + qy = f(x)                  即f(x) ≠0

      该方程的通解为

       y = Y(x) + y*                                (Y(x) 为②式,即齐次方程的通解;y*为 ①式的特解)

      第一步，求②式(齐次方程)通解，(参照上面一的方法)

      第二步，求①式特解。

       -----------------------------------------------------------------------------------==>

      根据①式根据f(x)类型分成两种求解方式 :

      1.f(x) = P(x) * e^(λx)

         特解: y* = x^k * Pm(x) * e^λx                                              ④

        (Pm(x) 为与P(x)同次的多项式，k是根据λ 不是③式的根(特征根)、单根、重复根依次取值为0,1,2)

       

      2.f(x) = e^λx * [ Pl(x)cosωx + Qn(x)sinωx]               

         特解: y* = x^k * eλx [Pl(x)cosωx + Ql(x)sinωx]              ⑤

         ( l=max(l,n),k是根据λ+iω不是③式的根(特征根)、单根依次取值为0,1 ; i是虚数)

        -----------------------------------------------------------------------------------

        最后将特解带入原方程式①中，即可解得Pm(x)的具体方程式 。

         y = Y(x) + y* 就求出来了

        另开一篇文章我简单写一下二阶常系数线性微分方程的另一种通用解法(不分齐次非齐次)的思想，降阶求解

        https://blog.csdn.net/while_1_/article/details/104158864