第七讲 一阶常系数线性ODE

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一，一阶常系数线性ODE一般形式：，k>0

        详见第三讲的温度—浓度模型。就是把一阶线性ODE标准形式中的换成常系数k，换成，其中y是t的函数，k>0。

二，输入—响应：

1.  是输入项，参照“温度—浓度模型”中温度和浓度是从外向里输入
2. 解是响应项

三，输入叠加原理：

1. 如果输入，产生响应；输入，产生响应
2. 那么输入，产生响应；输入，产生响应
3. 必须是线性方程，含的方程不符合这个原理

四，输入为三角函数的情况：

1. ，表示频率，t表示时间，表示幅角
2. 因为是的实数部分，所以可以将替换
3. 原实数解，变为复数解，
4. 原方程变为

五，求解：

1. 解出：；
2. 方程化为
3. 
4. 

六，幅角性质：

1. 设为复数
2. 
3. 复数相乘等于幅角相加：
4. ，说明：复数取导数，等于幅角取相反数

七，用极坐标法，去掉中虚数部分：

1. 将方程化为符合幅角性质：
2. 设幅角，得，作图见视频31:00~33:00
3. ，
4. 
5. 代入原方程：
6. 去掉虚数部分：，
7. 相对来说等于相位延迟（右移），作图见视频35:00~39:00
8. 当传导率k增大时，振幅增大，相位减小；说明传导地越快，振幅越接近1，延迟越小