题目描述
金明今天很开心，家里购置的新房就要领钥匙了，新房里有一间他自己专用的很宽敞的房间。更让他高兴的是，妈妈昨天对他说：“你的房间需要购买哪些物品，怎么布置，你说了算，只要不超过NN元钱就行”。今天一早金明就开始做预算，但是他想买的东西太多了，肯定会超过妈妈限定的NN元。于是，他把每件物品规定了一个重要度，分为55等：用整数1-51−5表示，第55等最重要。他还从因特网上查到了每件物品的价格（都是整数元）。他希望在不超过NN元（可以等于NN元）的前提下，使每件物品的价格与重要度的乘积的总和最大。
设第jj件物品的价格为v_[j]v
[ j]，重要度为w_[j]w [j]，共选中了kk件物品，编号依次为j_1,j_2,…,j_kj 1 ,j 2 ,…,j k ，则所求总和为：
v_[j_1] \times w_[j_1]+v_[j_2] \times w_[j_2]+ …+v_[j_k] \times w_[j_k]v [j 1]×w [ j 1 ]+v [j 2 ]×w j2 ]+…+v [j k]×w [j k]。
请你帮助金明设计一个满足要求的购物单。
输入输出格式
输入格式：
第一行，为22个正整数，用一个空格隔开：N mNm（其中N(<30000)N(<30000)表示总钱数，m(<25)m(<25)为希望购买物品的个数。）
从第22行到第m+1m+1行，第jj行给出了编号为j-1j−1的物品的基本数据，每行有22个非负整数 v pvp（其中vv表示该物品的价格(v \le 10000)(v≤10000)，pp表示该物品的重要度(1-51−5)
输出格式：
11个正整数，为不超过总钱数的物品的价格与重要度乘积的总和的最大值(<100000000)(<100000000)。
输入输出样例
输入样例#1：
1000 5
800 2
400 5
300 5
400 3
200 2
输出样例#1：
3900
01背包问题，动态规划：
其实这里就是换了一个方法来暴力地解决这个问题，怎么个暴力法呢
数组dp[i][j]表示当你面对 i 件物品，手头有j 元时的最大效益，我们可以看到，数组dp的规模是 m*n 也就是说我们暴力地枚举了所有的最优解，且前面的所有最优解都是为求得 dp[m][n]做贡献
这是再用空间换时间（当然这里给的代码是可以在空间上优化的，这里的代码是最初级的）。
好好分析下：
dp[i][j]数组的定义都差不多，表示第i件物品手里有j元时可以获得的最大效益即 重要程度*价格。
当你处于dp[i][j]时，我们来想一想，你已经在 i-1件物品里选过了，即你已经在 i-1 件物品得到了 当只有 i-1 件物品时的最大效益 。现在你能在 i 件物品中选了，手里有 j元钱，你当然是先把之前的最大效益先拿过来保存着（即dp[i-1][j],当你有j元在i-1件物品中选时），因为那是面对i-1件物品时最优解啊，为什么不用呢，当然可以用啦✪ ω ✪。拿过来后你开始观察眼前的第 i 件物品，选不选呢
1：选，那么你就得为它腾出钱腾出good[i].v的钱，于是乎，如果你选了这件物品，那么你手里就只有 j-good[i].v 的钱去买 i-1 件物品 而且你已经将它的最大效益保存在 dp[i-1][j-good[i].v]里面了呢，所以现在你买了第i件物品后你的最大效益应该是dp[i-1][j-good[i].v]+good[i].w,并把它保存在dp[i][j]中;
2：不买第i件物品，则你的最大效益是dp[i-1][j]
所以买不买就看上面两种情况哪一个效益高了，因而
dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i-1][j - good[i].v] + good[i].w);
代码：
#include<iostream>
#include<string>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<cstdlib>
#include<list>
#include<iterator>
#include<stack>
#include <queue>
#include <cstdio>
//#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
#define e 2.718281828459
#define INF 0x7fffffff
#pragma warning(disable:4996)
#define sf scanf
#define pf printf
#define sf2d(x,y) scanf("%d %d",&(x),&(y))
#define sfd(x) scanf("%d",&x)
#define sff(p) scanf("%lf",&p)
#define pfd(x) printf("%d\n",x)
#define mset(x,b) memset((x),b,sizeof(x))
const double pi = acos(-1.0);
const long long mod = 1000000007LL;
struct Node {
int v;//价格
int w;//重要程度
};
int dp[26][30000];
int main(void) {
int n, m;
Node good[26];
while (sf2d(n, m) != EOF) {
mset(dp, 0);
for (int i = 1; i <= m; i++) {
sf2d(good[i].v, good[i].w);
good[i].w = good[i].v * good[i].w;
}
for (int i = 1; i <= m; i++) {
for (int j = 0; j <= n; j++) {
dp[i][j] = dp[i - 1][j];
if (j - good[i].v >= 0) {
dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i-1][j - good[i].v] + good[i].w);//若没每件商品可以买多次，则为dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i][j - good[i].v] + good[i].w);
}
}
}
pfd(dp[m][n]);
}
return 0;
}
下面来优化一下：
#include<iostream>
#include<string>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<cstdlib>
#include<list>
#include<iterator>
#include<stack>
#include <queue>
#include <cstdio>
//#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
#define e 2.718281828459
#define INF 0x7fffffff
#pragma warning(disable:4996)
#define sf scanf
#define pf printf
#define sf2d(x,y) scanf("%d %d",&(x),&(y))
#define sfd(x) scanf("%d",&x)
#define sff(p) scanf("%lf",&p)
#define pfd(x) printf("%d\n",x)
#define mset(x,b) memset((x),b,sizeof(x))
const double pi = acos(-1.0);
const long long mod = 1000000007LL;
//优化到一维数组
//dp[j]代表你手头有j元时最大的收益
int dp[30002];
int main(void) {
int w[26], v[26];
int m, n;
while (sf2d(m, n) != EOF) {
mset(dp, 0);
for (int i = 1; i <= n; i++)
sf2d(v[i], w[i]), w[i] *= v[i];
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int j = m; j >= v[i]; j--) {
dp[j] = max(dp[j], dp[j - v[i]] + w[i]);//把一维数组当作存在两个状态，
} //即一部分状态保存的是取到第i件物品时的状态，
} //一部分保存的是取到第i-1件物品时的状态，数组前段为i-1件物品,后段为i件物品
pfd(dp[m]);
}
return 0;
}
空间需求变小了。