1、预备知识：直线和线段

设 $x_{1}\neq x_{2}$ 是 $R^{n}$ 空间的两个点，那么具有下列形式的点：

$\begin{align*} y&= \theta x_{1} + (1-\theta )x_{2}\\ &= x_{2} + \theta(x_{1}-x_{2}),\theta\in R \end{align*}$

组成一条穿越 $x_{1}$ 和 $x_{2}$ 的直线。当参数在0和1之间变动，则构成 $x_{1}$ 和 $x_{2}$ 之间的线段。

2、仿射集合

如果通过集合 $C\subseteq R^{n}$ 中任意两个不同的点的直线仍然在集合C中，则称集合C是仿射的。 $C\subseteq R^{n}$ 是仿射的等价于：对于任意的 $x_{1},x_{2}\in C$ 及 $\theta \in R$ 有 $\theta x_{1} + (1-\theta )x_{2}\in C$ 。

扩展到多个点：

仿射组合：如果 $\theta _{1}+\theta _{2}+...+\theta _{k} = 1$ ，我们称具有 $\theta _{1}x_{1}+...+\theta _{k}x_{k}$ 形式的点为 $x_{1},x_{2},...,x_{k}$ 的仿射组合。

仿射集合：如果C是一个仿射集合， $x_{1},x_{2},...,x_{k}\in C$ , $\theta _{1}+\theta _{2}+...+\theta _{k} = 1$ ，那么 $\theta _{1}x_{1}+...+\theta _{k}x_{k}$ 仍然在C中，即一个仿射集合包含其中任意点的仿射组合。

仿射包：由集合 $C\subseteq R^{n}$ 中的点的所有仿射组合组成的集合为C的仿射包，记为aff C:

aff C = $\{\theta _{1}x_{1}+...+\theta _{k}x_{k}|x_{1},...,x_{k}\in C,\theta _{1}+...+\theta _{k}=1\}$ .

仿射包是包含C的最小的仿射集合，即若S是满足 $C\subseteq S$ 的仿射集合，那么aff C $\subseteq S$ 。

3、开集和闭集

内点：对于 $x\in C\subseteq R^{n}$ ，如果存在 $\epsilon >0$ 满足： $\{y|\|y-x\|_{2}\leqslant \epsilon \}\subseteq C$ ，即存在一个以x为中心的的完全属于C的球，则称x为C的内点。

内部：C的所有内点组成的集合称为C的内部，记为int C。

开集：如果C的每个点都是内点，即int C = C，则称C为开集。

闭集：如果集合 $C\subseteq R^{n}$ 的补集 $R^{n}$ \ C = $\{x\in R^{n}|x\notin C\}$ 是开集，则称C为闭集。

注（个人理解）：可以类比熟知的一维空间的开集、闭集（如开集(1,2)，闭集[1,2]），是互通的。

闭包：记为cl C = $R^{n}$ \ int( $R^{n}$ \ C)，即C的补集的内部的补集。

边界：记为 bd C = cl C \ int C。边界点x（即x $\in$ bd C）有如下性质：对于所有 $\epsilon >0$ ，存在 $y\in C,z\notin C$ 满足

$\|y-x\|_{2}\leqslant \epsilon ,\|z-x\|_{2}\leqslant \epsilon$ ，即既存在和它任意接近的属于C的点，也存在和他任意接近的不属于C的点（类比开集(1,2)，闭集[1,2]）。

用边界刻画开集和闭集：C是闭集的条件是，它包含它的边界；它是开集的条件是，它不含有边界点（类比开集(1,2)，闭集[1,2]）。

4、仿射维数与相对内部

仿射维数：集合C的仿射维数是其仿射包aff C的维数。

相对内部：集合C的相对内部是其仿射包aff C的内部，记为relint C，即

relint C = { $x\in C|B(x,r)\cap \mathbf{aff} C\subseteq C$ 对于某些r>0}，

其中 $B(x,r) = \{y|\|y-x\|\leqslant r\}$ ，即半径为r，中心为x并由范数||*||定义的球。

相对边界：cl C \ relint C,cl C表示C的闭包。

例子：

考虑 $R^{3}$ 中处于 $(x_{1},x_{2})$ 平面的一个正方形，定义

$C = \{x\in R^{3}|-1\leqslant x_{1}\leqslant 1,-1\leqslant x_{2}\leqslant 1,x_{3}=0\}$ ，

其仿射包为 $(x_{1},x_{2})$ -平面，即 $\mathbf{aff}C= \{x\in R^{3}|x_{3} = 0\}$ ，C的内部为空，但其相对内部为

$\mathbf{relint}C = \{x\in R^{3}|-1<x_{1}<1,-1<x_{2}<1,x_{3} = 0\}$

C的边界是其自身，相对边界是其边框 $\{x\in R^{3}|max\{|x_{1}|,|x_{2}|\}=1,x_{3} = 0\}$ 。

5、凸集

凸集：如果集合C中任意两点间的线段仍然在C中，即对任意 $x_{1},x_{2}\in C$ 和满足 $0\leqslant \theta \leqslant 1$ 的 $\theta$ 都有 $\theta x_{1}+(1-\theta) x_{2}\in C$ ，则称C是凸集。

例子：

凸组合：我们称 $\theta _{1}x_{1}+...+\theta _{k}x_{k}$ 为点 $x_{1},x_{2},...,x_{k}$ 的一个凸组合，其中 $\theta _{1}+\theta _{2}+...+\theta _{k} = 1$ ，且 $\theta _{i}\geqslant 0,i=1,2,...,k$ （仿射组合没有 $\theta _{i}\geqslant 0$ 这个条件）。凸集包含其中所有点的凸组合。

凸包：集合C中所有点的凸组合的集合为其凸包，记为conv C

$\mathbf{conv}C = \{\theta _{1}x_{1}+...+\theta _{k}x_{k}|x_{i}\in C,\theta _{i}\geqslant 0,i=1,2,...,k,\theta _{1}+...+\theta_{k}=1\}$ .

凸包是包含C的最小凸集。即如果B是包含C的凸集，那么 $\mathbf{conv}C\subseteq B$ 。

参考资料：boyd《凸优化》

仿射集合和凸集

1、预备知识：直线和线段

2、仿射集合

3、开集和闭集

4、仿射维数与相对内部

5、凸集

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