1)凸集,凸函数,凸优化
仿射集
例1:任何一个线性方程的解集一定是一个仿射集
c={x∣AX=b},A∈Rm×n,b∈Rm,x∈Rn
证明如下:
∀X1,X2∈c,
AX1=b,AX2=b
θ∈R,
θX1+(1−θ)X2∈c
A(θX1+(1−θ)X2)=b
=θAX1+(1−θ)AX2
=b
例2:
v={X−X0∣X∈c},∀X0∈c
={X−X0∣AX=b},AX0=b
{X−X0∣A(X−X0)=0}
令
X−X0=y,则上式可以写为:
{y∣Ay=0}
则
y为
A的画零空间
二 给定任意集合
c,构造尽可能小的仿射集
仿射包:
aff
c={θX1+θX2+....θRXR∣∀xi∈R,∀θ1+.....θR=1}
凸集(convex set):
一个集合
c是凸集,当任意两点之间的线段仍然在
c内,
c为凸集
⇔∀x1,x2∈c,∀θ,θ∈⌈0,1⌉,θx1+(1−θ)x2∈c
x1,x2,.........xn的凸组合,
θ1,θ2........θR∈R,,
θ1+θ2+θ3....+θn=1
θ1......θR∈⌈0,1⌉
则
θ1x1+θ2x2+.......θkxk称为凸组合
c为凸集
⇔则
c中任意元素的凸组合一定在
c内。
凸包:conv
C={θ1x1+θ2x2.......+θRxR∣∀x1,x2,....xr∈c,∀θ1,θ2,......θr∈⌈0,1⌉,θ1+.......θR=1}
锥Cone ,凸锥convex Cone
C 是锥
⇔∀x∈c,θ⩾0,θx∈C
C是凸锥
⇔∀x1,x2∈c,θ1,θ2⩾0,x1θ1+x2θ2∈c
凸锥组合
θ1x1+θ2x2+.....+θkxk,θ1,θ2,θ3.....θk⩾0
凸锥包
x1,x2,......xk∈c,{θ1x1+θ2x2+....θkxk∣x1,x2....xk∈c,θ1,θ2,.......θk⩾0
总结:
仿射组合
∀θ1,........θk,θ1+....+θk=1
凸组合
∀θ1.......θk,θ1+......+θk=1,θ1.....θk∈⌈0,1⌉
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凸锥组合
∀θ1,........θk,θ1.....θk⩾0
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