信息论的基本概念比较：自信息、香浓熵、微分熵、相对熵、交叉熵

本文主要介绍和比较若干信息论中的重要定义：自信息、香浓熵、微分熵、相对熵、交叉熵。

定义概述

信息论的基本想法是一个不太可能的事件居然发生了，要比一个非常可能的事件发生，能提供更多的信息。

希望能有一种量化信息的方法，并且具备一些性质，如：
• 非常可能发生的事件信息量要比较少，并且极端情况下，确保能够发生的事件
应该没有信息量。
• 较不可能发生的事件具有更高的信息量。
• 独立事件应具有增量的信息。例如，投掷的硬币两次正面朝上传递的信息量，
应该是投掷一次硬币正面朝上的信息量的两倍。

这就引出了自信息，我们定义一个事件x = x 的自信息（self-information）：

I (x) = - l n P (x)

$I(x) = -lnP(x)$
自信息只处理单个的输出。我们可以用 香农熵（Shannon entropy）来对整个概率分布中的不确定性总量进行量化：

H (x) = E_{X - P} [I (x)] = - E_{X - P} [l o g P (x)]

$H(x)=E_{X-P}[I(x)]=-E_{X-P}[logP(x)]$
一个分布的香农熵是指遵循这个分布的事件所产生的期望信息总量。当x 是连续的，香农熵被称为 微分熵（differential entropy）。

如果我们对于同一个随机变量x 有两个单独的概率分布P(x) 和Q(x)，我们可以使用KL 散度（Kullback-Leibler (KL) divergence）来衡量这两个分布的差异。KL散度又称为相对熵。

D_{K L} (P | | Q) = E_{X - P} [l o g P (x) - l o g Q (x)]

$D_{KL}(P||Q)=E_{X-P}[logP(x)-logQ(x)]$
KL散度的物理意义可以理解为：在离散型变量的情况下，KL 散度衡量的是，当我们使用一种被设计成能够使得概率分布Q 产生的消息的长度最小的编码，发送包含由概率分布P 产生的符号的消息时，所需要的额外信息量。

一个和KL 散度密切联系的量是交叉熵（cross-entropy），它和KL 散度很像但是缺少左边一项：

H (P, Q) = - E_{X - P} l o g Q (x)

$H(P,Q)=-E_{X-P}logQ(x)$

总结比较

名称	性质	用途
自信息	非负	量化单个事件发生包含信息量（不确定度）的基本方法
香浓熵	非负	对概率分布中的不确定性总量进行量化
微分熵	非负	对连续性随机变量的概率分布中的不确定性总量进行量化
相对熵	非负，非对称	衡量两个分布之间的差异；用作机器学习分类任务的损失函数时，往往可以替换为交叉熵
交叉熵	非负	衡量两个随机变量之间的相似度；当真实输出a与期望输出y接近的时候，代价函数接近于0；常用作分类问题中的损失函数