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一、熵
对于离散型随机变量，当它服从均匀分布时，熵有极大值。取某一个值的概率为1，取其他所有值的概率为0时，熵有极小值（此时随机变量退化成确定的变量）。对于离散型随机变量，假设概率质量函数为p(x)，熵是如下多元函数 ：
伯努利分布的熵为：
对于连续型随机变量，假设概率密度函数为p(x)，熵（也称为微Differential Entropy分熵 ）定义为：
性质： 对于离散型随机变量，当他服从均匀分布时，熵有极大值。取某一个值的概率为1，其他所有值的概率为0时，熵有极小值
二、联合熵
联合熵（Joint Entropy）是熵对多维概率分布的推广，它描述了一组随机变量的不确定性。以二维随机向量为例，有两个离散型随机变量X和Y，它们的联合概率质量函数为p(x)，联合熵定义为：
推广到多个随机变量，有：
对于连续型随机向量（X，Y），假设联合概率密度函数为p(x,y)，其联合熵为二重积分
对于n维连续型随机变量x，假设联合概率密度函数为p(x)， 其联合熵为二重积分:
三、相对熵（KL散度）
相对熵（Relative Entropy）也称为KL散度（Kullback-Leibler Divergence），用于衡量两个概率分布之间的差异。其值越大，则两个概率分布的差异越大；当两个概率分布完全相等时相对熵值为0。对于两个离散型概率分布p和g，它们之间的相对熵定义为：
其中p(x)和q(x)为两个概率分布的概率质量函数。
两个伯努利分布之间的相对熵：
对于两个连续概率分布p和q，他们的相对熵：
性质一：相对熵非负，对于任意两个概率分布p和q，下面不等式成立，下式也称Gibbs不等式：
性质二：当且仅当两个概率分布相等，相对熵取得最小值0。
性质三：相对熵不具有对称性，即：
四、交叉熵
交叉熵是数学期望，也用于衡量两个概率分布之间的差异，其值越大，两个概率分布差异越大；其值越小，两个概率分布差异越小。对于离散型随机变量：
对于两个连续型随机变量，加啥概率密度函数分别为p(x)和q(x)，交叉熵定义为：
性质一： 如果两个概率分布完全相等，则交叉熵退化成熵。
性质二：交叉熵不是距离，不具有对称性，也不满足三角不等式。
性质三：当两个概率分布相等时，交叉熵有极小值。
性质四：交叉熵与相对熵的关系。交叉熵与相对熵都反映了两个概率分布的差异程度，下面推导他们的关系：
因此相对熵等于交叉熵与熵之差，如果p(x)已知，则其熵H(p)为常数。在机器学习中通常以概率分布p(x)为目标，拟合出一个概率分布q(x)。此时H(p)是常量，所以通常直接优化H(p,q)就可以了。
五、JS散度
Jensen-Shannon散度定义于两个概率分布上，根据KL散度构造，同样描述了两个概率分布的差异，且具有对称性。JS散度定义如下：
其中概率分布m为p和q的均值：
性质一：JS散度是非负的，JS散度越大，两个概率分布之间的差异越大。
性质二：JS散度具有对称性
性质三：当且仅当两个概率分布相等时，JS散度等于0
六、互信息
互信息定义了两个概随机变量的依赖程度。它可以看成是一个随机变量中包含的关于另一个随机变量的信息量，或者说是一个随机变量由于已知另一个随机变量而减少的不肯定性。对于两个离散型随机变量X和Y，他们的互信息：
其中p(x,y)为X和Y的联合概率，p(x)和q(x)分别为X和Y的边缘概率。互信息反映了联合概率p(x,y)与边缘概率乘积的差异程度。如果两个随机变量独立，则p(x,y) = p(x)*p(y),因此他们越接近于相互独立，则p(x,y)和 p(x)*p(y)的值越接近。换句换说互信息越接近于0，两个随机变量越独立。
对于两个连续随机变量X和Y，他们的互信息定义如下：
性质一：互信息是非负的；互信息越大，两个概率分布之间的依赖程度越强；两个概率分布互相独立时，互信息等于0。
性质二：与熵的关系。推导过程省略，直接说结论。
两个随机变量的联合熵等于它们各自的熵减去互信息，这与集合运算的规律类似，互信息可以看作两个随机变量信息量的重叠部分，如下图所示。图中两个椭圆区域分别为两个随机变量的熵H(X)和H(Y)，它们重叠的部分为这两个随机变量之间的互信息I(X,Y)，两个圆的并集为它们的联合熵H(X,Y)。
七、条件熵
条件熵是给定X的条件下Y的条件概率p(y|x)的熵H(Y|X=x)对X的数学期望，对离散型概率分布，公式为：
其中p(x,y)为X和Y的联合概率， p(x)为X的边缘概率，条件熵与联合熵的公式非常相似，只是对数函数多了一个分母，这里约定0*ln0 / 0 = 0 且 0*lnc / 0 = 0, c>0.
条件熵的直观含义是根据随机变量X的取值x将整个数据集划分成多个子集，每个子集内的x相等，计算这些子集的熵，然后用p(x)作为权重系数，对子集的熵进行加权平均。
性质：根据条件熵与联合熵的定义，有：
因此 的条件熵H(YIX)是它们的联合熵H(X,Y)与熵H(X)的差值。
下图形象反映了熵、条件熵、联合熵和互信息的关系
八、总结
