【ML Method】熵、联合熵、条件熵、互信息、相对熵、交叉熵

• 更新时间：2018-07-07

前言

之前有写过一篇文章介绍信息增益、Gini、信息增益率的，上面介绍过熵及其相关概念，地址为：https://blog.csdn.net/roguesir/article/details/76619919。这篇文章从另外的角度详细介绍熵、联合熵、条件熵、互信息、相对熵、交叉熵、信息增益等信息，为后面介绍最大熵模型做铺垫。下面进行详细介绍：

熵的概念理解

熵（Entropy）最初在热力学中提出，后由香农引入信息论中，成为一个重要物理量，在机器学习中，经典算法如决策树、随机森林等算法都涉及熵的概念。

信息量

信息量作为信息的度量，可以用来衡量熵的定义，设 $p(x_i)$ 表示 $x_i$ 发生的概率，则信息量可以表示为：

$$h(x_i)=-log_{a}p(x_i)=log_{a}\frac{1}{p(x_i)} \tag{1}$$ 其中，a值常取2，表示比特，即非0即1，由此可知，信息量与概率成反比，可以理解为：事件发生概率越高，含有的信息量就越低，事件就越寻常易见。

熵的定义

熵在热力学熵用来描述物质的混乱程度，用来衡量不确定性，也就是说，物质越混乱，不确定性越大，熵值越大。
同步到信息论中，事件发生的不确定行越大，则熵越大。例如：掷骰子，六个面机会均等，因此投一次得到的点数不确定性最大（因为每个点数的概率都是六分之一），因此此时熵最大；再如：敲代码时候打错一个词，编译时出问题的概率为1，是一个确定事件，因此此时熵最小。
熵是信息量的期望，公式如下：

$$H(X)=-\sum_{i=1}^{n}p(x_i)log_{a}p(x_i)=\sum_{i=1}^{n}p(x_i)log_{a}\frac{1}{p(x_i)} \tag{2}$$ 其中 $log_{a}\frac{1}{p(x_i)}$ 表示信息量， $\sum_{i=1}^{n}p(x_i)log_{a}\frac{1}{p(x_i)}$ 则表示信息量的期望，反应不确定性。
定义熵时，约定：
$$\lim_{p->0^+}plog_ap=0 \tag{3}$$ 概率和熵具有如下的性质： $$0 \leq p \leq1 \ \ and \ \ \sum p=1\tag{4}$$ $$H(X)可以大于1\tag{5}$$

联合熵

由上面的Venn图可知，联合熵可以表示为两个事件的熵的并集：

$$\begin{eqnarray} H(X,Y) &=& -\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n}p(x_i,y_j)log_2p(x_i,y_j) \tag{6}\\ & =& \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n}p(x_i,y_j)log_2\frac{1}{p(x_i,y_j)}\tag{7} \end{eqnarray}$$ 可以得到如下性质： $$max[H(X),H(Y)]\leq H(X,Y)\leq H(X)+H(Y)\tag{8}$$

条件熵

通过上述Venn图可知，条件熵实际上是联合熵与熵的差集，也可表示为熵与互信息的差集，具体如下：

$$\begin{eqnarray} H(X|Y) & = & H(X,Y)-H(Y) \tag{9}\\ & = & H(X)-I(X,Y) \tag{10} \end{eqnarray}$$
具体的推到过程如下：
$$\begin{eqnarray} H(Y|X) &=& \sum_{i=1}^{n}p(x_i)H(Y|X=x_i) \tag{11}\\ & = & -\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n}p(x_i)p(y_i|x_j)log_2p(y_i|x_j)\tag{12}\\ & = & \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n}p(x_i,y_j)log_2\frac{p(x_i)}{p(x_i,y_j)}\tag{13} \end{eqnarray}$$

互信息

上面提到了互信息，互信息是用来表示变量间相互以来的程度，常用在特征选择和特征关联性等方面，公式如下：

$$I(X,Y)=-\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n}p(x_i,y_j)log_2\frac{p(x_i,y_j)}{p(x_i)p(y_j)}\tag{14}$$
互信息与相关性 $\rho$ 相关， $\rho$ 用来描述线性相关性，互信息用来描述非线性相关性，其中： $$\rho=\frac{cov(x,y)}{\sqrt{var(x)}\sqrt{var(y)}}\tag{15}$$

相对熵（KL散度）

相对熵用来描述像个分布之间的差异，在GAN上获得了广泛应用。

$$KL(p||q)=\sum_{i=1}^{n}p(x_i)log_2\frac{p(x_i)}{q(x_i)}\tag{16}$$
其中，p，q表示两个分布，易知： $$KL(p||q)\neq KL(q||p)\tag{17}$$ KL散度越大，两个分布间的差异越明显，并且： $$KL(p||q)\geq0\tag{18}$$ 对于式(18)，可以通过如下证明：

交叉熵

交叉熵常用在深度学习中目标函数优化。

$$\begin{eqnarray} CH(p,q) & = & -\sum_{i=1}^{n}p(x_i)log_2q(x_i)\tag{19}\\ & = & -\sum_{i=1}^{n}p_ilog_2p_i+\sum_{i=1}^{n}p_ilog_2p_i-\sum_{i=1}^{n}p_ilog_2q_i\tag{20}\\ & = & H(p)+\sum_{i=1}^{n}p_ilog_2\frac{p_i}{q_i}\tag{21}\\ & = & H(p)+KL(p||q)\tag{22} \end{eqnarray}$$