机器学习基础--信息论相关概念总结以及理解
摘要：
熵（entropy）、KL 散度（Kullback-Leibler (KL) divergence）和交叉熵（cross-entropy）以及JS散度，在深度学习以及机器学习很多地方都用的到，尤其是对于目标函数和损失函数的定义。在逻辑回归问题中，目标函数就是用交叉熵定义的。
1. 信息量
信息论是应用数学的一个分支，主要研究的是对一个信号包含信息的多少进行量化。信息论的基本想法是一个不太可能的事件发生了，要比一个非常可能的事件发生，能提供更多的信息。事件发生的可能性大，信息量少；事件发生的可能性小，其信息量大。
比如：早上你出门碰到一个朋友，他告诉你今天是晴天，这句话的信息量就很小，因为天气你已经知道了，而且是个确定性事件，等同于废话。
要是他再告诉你，明天可能下雪，这句话的信息量就比刚刚的话要大好多。
可以看出信息量的大小与事件发生的可能性成反比。
- 非常可能发生的事件信息量要比较少。在极端情况下，确保能够发生的事件应该没有信息量。
- 较不可能发生的事件具有更高的信息量。
- 独立事件应具有增量的信息。例如，投掷的硬币两次正面朝上传递的信息量，应该是投掷一次硬币正面朝上的信息量的两倍。
为了满足上面 3 个性质，定义了一事件 x=X 的自信息（self-information）为:
\[ I(x)=-log(P(x)) \tag{1} \]
使用 \(x\) 表示随机变量，使用 \(x1,x2,...,xi,...,xN\) 或者 \(x\) 表示随机变量 \(x\) 可能的取值。当式（1）中 log 以 2 为底数时，\(I(x)\) 单位是比特（bit）或者香农（shannons）；当 log 以自然常数 e 为底数时，\(I(x)\) 单位是奈特（nats）。这两个单位之间可以互相转换，通过比特度量的信息只是通过奈特度量信息的常数倍。（使用对数换底公式转化）在机器学习中大部分是以\(e\)为底。
自信息只能处理单个的输出。我们可以使用香农熵（Shannon entropy）来对整个概率分布中的不确定性总量进行量化：
\[ H(P)=H(x)= E_{x∼P}[I(x)]=\sum_{i=1}^NP(x_i)I(x_i)=−\sum_{i=1}^NP(x_i)logP(x_i)\tag{2} \]
式（2）后两个等号是在离散型变量的情况下成立，对于连续型变量，则需要求积分。当 x 是连续的，香农熵被称为微分熵（differential entropy）。
熵的一些性质：
- 那些接近确定性的分布（输出几乎可以确定）具有较低的熵。
- 那些接近均匀分布的概率分布具有较高的熵。
当一个事件的发生概率为\(p(x)\) 时，它的信息量就是\(−log(p(x))\)。那么我们将这个事件的所有可能发生的结果都罗列出来，求的该事件信息量的期望(信息量的算术平均)