MIT算法导论公开课之第11课 扩充的数据结构、动态有序统计和区间树

动态有序统计

• 主要操作：
  OS-Select(i)//返回动态集中第i小的元素。
  OS-Rank(x) //返回动态集排序序列中元素x的位置。
• 新增数据：
  在每个结点中保存其子树的结点个数。
  
  size[x]=size[left[x]]+size[right[x]]+1
  size[nil]=0
  
  • 处理nil的通用技巧：
    标记法，给空结点分配空间，并用一个伪记录内容作为标记。
• OS-Select(x,i)（递归函数伪码）：

k ← size[left[x]]+1
if i=k then return x
if i<k then return OS-Select(left[x],i)
    else return OS-Select(right[x],i-k)
Ex：
    OS-Select(root,i) → return ptr to “H”

• 时间分析：
  显而易见，OS-Select(i)、 OS-Rank(x)运行时间为O(lgn)。
  如果直接记录每个结点在动态集排序序列中元素x的位置，为维持此数据，红黑树自身数据结构的操作时间复杂度会比较高。
  记录子树结点个数策略下，修改红黑树的插入、删除操作，使其在插入、删除操作中完成子树结点个数数据项的更新。
• Ex（插入“K”）：
  
  • BST插入，结点数更新：
    
  • 重建红黑树：
    改色是常数时间内的操作。
    旋转，只需根据子节点来进行重建，因此每次旋转也是常数时间内的操作。
    Ex：
    
    扩充后的插入、删除操作的运行时间仍然为O(lgn)。

扩充数据结构

• 一般步骤（以有序统计树为例）：

  1.选择一个基础的数据结构：
      选择红黑树。
  2.决定附加的数据项：
      在每个结点中附加其子树的结点个数的数据项。
  3.验证数据结构的修改操作能够维护这个新增数据：
      红黑树的修改删除操作中增加维护附加数据项的操作。
  4.建立新增的数据结构操作（使用附加的数据项）。
      创建OS-Select(i)和OS-Rank(x)操作。
  

  上述步骤可以用来作为检测清单，不必要一定要按此步骤进行数据结构的扩充。

区间树

用来保存一系列的区间，例如时间区间。

• 例如区间i=[7,10]，则有low[i]=7，high[i]=10。
  定义查询操作，查询区间树中与已知区间有重叠的区间。

创建区间树

• 步骤
  1.选择的数据结构为红黑树，将区间左端作为红黑树的构造键值。
  2.在每个结点中附加其子树中最大端点值的数据项m。
  
  
  3.修改红黑树的原操作：

  • 插入操作：
    在从上向下的键值比较操作过程中，加上m值的比较过程，更新相应的m值。
    旋转过程：
    
    在O(1)时间内完成操作。
    插入操作的总用时为O(lgn)。
  • 删除操作：
    删除操作带来的重建工作要比插入复杂，但都是局部的常数时间内的操作，所以删除操作的时间复杂度也为O(lgn)。

  4.创建新的函操作：

      Interval-Search(i)：
          x ← root
          while x≠nil and (low[i]>high[int[x]] or low[int[x]]>high[i])
              if left[x]≠nil and low[i]<=m[left[x]]
                  then x ← left[x]
              else x ← right[x]
          return x

  • Ex：
    [14,16] → 返回[15,18]
    [12,14] → 返回nil
  • 运行时间：
    返回一个重叠区间，时间为O(lgn)。
    返回所有重叠区间，可以找到一个删除一个，设重叠区间的总数为k，则时间为O(klgn)。说明此算法为输出敏感算法，即算法的时间复杂度与输出的结果数量有关。
  • 正确性分析：