Bellman-Ford 算法
图G=(V,E)，选取s∈V作为图的原点，此算法可计算最短路径δ(s,v)（v∈V）或报告出图中存在负权值的环路。
Exercise
在路径中存在负权值的环路时，将δ(s,v)设置为-∞。
Bellman-Ford 算法伪码
d[s] ← 0
for each v∈V-{s}
d[v] ← ∞
for i ← 1 to |V|-1
for each edge(u,v)∈E
if d[v] > d[u]+w(u,v)
d[v] ← d[u]+w(u,v) //松弛步骤
for each edge(u,v)∈E
if d[v] > d[u]+w(u,v)
报告图中存在负权值的环路
else
δ(s,v)=d[v]
运行时间Time=O(V·E)。- Ex：
注：每次选取边的顺序可以是都不一样的，这里为了简单描述都采取了一样的顺序。
Bellman-Ford 算法正确性
线性规划（Linear Programming）
- 给定一个m x n阶的矩阵A，一个m阶的向量b和一个n阶的向量c，目标是找到一个n阶的向量x，能够最大化cT·x且满足约束条件Ax<=b，或是说明没有符合要求的x存在。
- 图解：
线性规划问题解法
单一算法（simplex algorithm）：
最古老的算法，最坏情况下运行时间为指数阶的，但在实际使用中效果还不错。
椭球算法（ellipsoid algorithm）：
理论上是第一个在多项式时间内解决线性规划的算法，但在实际使用中效果差。
内点法（interior point method）：
在多项式时间内解决线性规划，在实际使用中也很实用。
随机抽样（random sampling）：
两位MIT教授发明的算法，理论上效果不错。
线性可行性问题
找到x满足约束条件Ax<=b，而不用最大化cT·x（找到可行解即可）。
此问题的复杂度并不比线性规划问题低。
差分约束系统（System of difference constraints）：
一个差分约束系统是一个线性可行性问题，矩阵A的每一行只有一个1，一个-1，其他值都为0。
即每一个描述约束条件的不等式都只包含两个变量和一些数字，xj-xi<=wij。
Ex：
- 问题：
x1-x2<=3
x2-x3<=-2
x1-x3<=2 - 解：
x1=3
x2=0
x3=2
- 问题：
约束图：
将xj-xi<=wij转化为：
由此可知转化后的图G=(V,E)，|V|=n，|E|=m。
与xj<=xi+wij类似的形式d[vj]<=d[vi]+wij。
Ex：
定理：
如果约束图存在负权值的环路，那么相应的差分约束系统无解。
证明：
假设v1 → v2 → … → Vk → V1是一个负权值的环路。
则有：
x2-x1<=w12
x3-x2<=w23
.
.
.
x1-xk<=wk1
左侧相加为0，右侧相加为负数，从而证明了差分约束无解。定理：
如果约束图不存在负权值的环路，那么相应的差分约束系统有解。
证明：
在约束图G中加入一个新的顶点s，并加入从顶点s到其他所有顶点的边，权值都设为1。
这样就可以在此图上运行Bellman-Ford算法求最短路径。
设xi=δ(s,vi)
要满足xj-xi<=wij
即证δ(s,vj)-δ(s,vi)<=w(vi,vj)
δ(s,vj)<=δ(s,vi)+ w(vi,vj)
由反正法此式可知显然成立，即Bellman-Ford算法求得的键值即为可行解。差分约束系统时间：
使用Bellman-Ford算法，运行时间为O(m·n)。Exercise：
使用Bellman-Ford算法获得的差分约束系统的解，满足xi<=0，xj-xi<=wij，且得到的是Max(x1+x2+…+xn)和Min(max xi – min xi)（尽可能的密集）的解。
最小化了线性规划范数。
VLSI布局问题
将一堆电路零件放在一起，要求它们之间有个距离限制。
一维上的布局可抽象成差分约束问题，进而使用Bellman-Ford算法求得尽可能紧凑的集成电路布局方案。
- 其他应用：
例如视频剪辑方案的制定。