概述
学习课程后，再第一周第四课作业的基础上完成该周作业，现将心得体会记录如下。
初始化权重
代码更改
在之前的建立神经网络的过程中，提到权重w不能为0，而将它初始化为一个随机的值。然而在一个深层神经网络中，当w的值被初始化过大时，进入深层时呈指数型增长，造成梯度爆炸；过小时又会呈指数级衰减，造成梯度消失。
Python中将w进行随机初始化时，使用numpy库中的np.random.randn()方法，randn是从均值为0的单位标准正态分布（也称“高斯分布”）进行取样。随着对神经网络中的某一层输入的数据量n的增长，输出数据的分布中，方差也在增大。结果证明，可以除以输入数据量n的平方根来调整其数值范围，这样神经元输出的方差就归一化到1了，不会过大导致到指数级爆炸或过小而指数级衰减。
代码更改如下：
- 参数初始化函数：
def init_para(layer_dims, init_mode):
L = len(layer_dims) #L为总层数
np.random.seed(L)
parameters = {}
if init_mode=='zero':
for l in range(1,L): #初始化W1~WL,b1~bL
parameters['W'+str(l)] = np.zeros((layer_dims[l], layer_dims[l-1]))
parameters['b'+str(l)] = np.zeros((layer_dims[l], 1))
if init_mode=='random':
for l in range(1,L): #初始化W1~WL,b1~bL
parameters['W'+str(l)] = np.random.randn(layer_dims[l], layer_dims[l-1])*0.01
parameters['b'+str(l)] = np.zeros((layer_dims[l], 1))
if init_mode=='norm':
for l in range(1,L): #初始化W1~WL,b1~bL
parameters['W'+str(l)] = np.random.randn(layer_dims[l], layer_dims[l-1])*np.sqrt(1.0/(layer_dims[l-1]))
parameters['b'+str(l)] = np.zeros((layer_dims[l], 1))
return parameters- 模型函数：
def NN_model(X, Y, layer_dims, learning_steps, learning_rate, print_flag, init_mode):
np.random.seed(1)
costs=[]
parameters = init_para(layer_dims, init_mode) #初始化参数
for i in range(0, learning_steps): #进行learning_steps次训练
AL, caches = prop_forward(X, parameters) #前向传播，计算A1~AL
cost = compute_cost(AL,Y) #计算成本
grads = prop_backward(AL, Y, caches) #反向传播，计算dW1~dWL,db1~dbL
parameters = update_para(parameters, grads, learning_rate) #更新参数
if print_flag==True and i%1000==0:
print('cost at %i steps:%f'%(i, cost))
costs.append(cost)
return parameters,costs实施效果
二元分类问题1
样本数据集代码如下：
def gendata():
np.random.seed(1)
m = 600 #样本数
N = int(m/2) #分为两类
D = 2 #样本的特征数或维度
X = np.zeros((m,D)) #初始化样本坐标
Y = np.zeros((m,1)) #初始化样本标签
a = 4 #基础半径
for j in range(2):
ix = range(N*j,N*(j+1))#ix=（0，199）（200，399）
t = np.linspace(j*3.14,(j+1)*3.14,N) #theta角度，产生200个角度并加入随机数，保证角度随机分开，图像开起来稀疏程度不一
r = a*np.sin(4*t) + np.random.randn(N)*0.4 #radius半径，4sin(4*t),并加入一定的随机，图像轨道不平滑
X[ix] = np.c_[r*np.sin(t), r*np.cos(t)] #生成坐标点
Y[ix] = j #red or blue
return X.T,Y.T令layer_dims=[2,4,3,2,1]，learning_steps=20000，learning_rate=0.5。
当init_mode='zero'时：
当init_mode='random'时：
当init_mode='norm'时：
从实施效果可以看到，当初始化参数除以数据量n的平方根，收敛速度明显变快。
二元分类问题2
样本数据集代码如下：
def gendata():
np.random.seed(1)
m = 600 #样本数
N = int(m/2) #分为两类
D = 2 #样本的特征数或维度
X = np.zeros((m,D)) #初始化样本坐标
Y = np.zeros((m,1)) #初始化样本标签
a = 4 #基础半径
for j in range(2):
ix = range(N*j,N*(j+1))#ix=（0，199）（200，399）
t = np.linspace(0,6.28,N) + np.random.randn(N)*0.1 #theta角度，产生200个角度并加入随机数，保证角度随机分开，图像开起来稀疏程度不一
r = (a + j*2) + np.random.randn(N)*0.2 #radius半径，4sin(4*t),并加入一定的随机，图像轨道不平滑
X[ix] = np.c_[r*np.sin(t), r*np.cos(t)] #生成坐标点
Y[ix] = j #red or blue
return X.T,Y.T令layer_dims=[2,6,3,1]，learning_steps=20000，learning_rate=0.5。
当init_mode='zero'时：
当init_mode='random'时：
当init_mode='norm'时：
从实施效果可以看到，当初始化参数除以数据量n的平方根，收敛速度明显变快，尤其学习步数太多，最终稍微过拟合。
同时发现，这样初始化参数后，可以将网络深度适当增加（之前增加深度时，总是不收敛），例如将layer_dims=[2,6,3,2,1]，运行结果如下：
三元分类问题
样本数据集代码如下（y用于sklearn库的逻辑回归，Y用于NN）：
def gendata():
np.random.seed(1)
m = 600 #样本数
N = int(m/2) #分为两类
D = 2 #样本的特征数或维度
X = np.zeros((m,D)) #初始化样本坐标
y = np.zeros((m,1)) #初始化样本标签
Y = np.zeros((m,3)) #初始化样本标签
a = 2 #基础半径
for j in range(6):
ix = range((m//6)*j, (m//6)*(j+1))
t = np.linspace((3.14/3)*j+0.1, (3.14/3)*(j+1)-0.1, m//6) #theta角度，产生200个角度并加入随机数，保证角度随机分开，图像开起来稀疏程度不一
r = a + np.random.randn(m//6)*0.2 #radius半径，4sin(4*t),并加入一定的随机，图像轨道不平滑
X[ix] = np.c_[r*np.sin(t), r*np.cos(t)] #生成坐标点
y[ix] = j%3
if j%3==0:
Y[ix] = [1,0,0]
if j%3==1:
Y[ix] = [0,1,0]
if j%3==2:
Y[ix] = [0,0,1]
return X.T,Y.T,y.T预测函数更改如下：
def predict(X,parameters):
AL, caches = prop_forward(X, parameters)
prediction = np.zeros(AL.T.shape)
for i in range(AL.shape[1]):
if np.max(AL[:,i])==AL[0,i]:
prediction[i] = [1,0,0]
if np.max(AL[:,i])==AL[1,i]:
prediction[i] = [0,1,0]
if np.max(AL[:,i])==AL[2,i]:
prediction[i] = [0,0,1]
return prediction.T令layer_dims=[2,18,6,3]，learning_steps=20000，learning_rate=0.5。
当init_mode='zero'时(注意左图纵坐标范围1.9~2.1)：
当init_mode='random'时：
当init_mode='norm'时，网络对二维平面预测结果的对称特性已开始显现：
尝试将网络扩大为layer_dims=[2,288,144,72,36,18,6,3]，同时learning_steps=5000，运行结果如下（对称特性明显！）：
多元分类问题
在上面的基础上，将训练集改为6类，代码类推即可，不再赘述。
由于训练集无交叉，因此采用sklearn的逻辑回归预测结果也很好。如下图所示。
然后采用NN。令layer_dims=[2,288,144,72,36,12,6]，learning_steps=20000，learning_rate=0.5。直接令init_mode='norm'，结果如下：
L2正则化
原理
向Logistic回归的成本函数中加入正则化项。
L2正则化：
其中：
L1正则化：
其中：
L1正则化最后得到w向量中将存在大量的0，使模型变得稀疏化,所以一般使用L2正则化。其中的参数λ称为正则化参数，这个参数通常通过开发集来设置。
向神经网络的成本函数加入正则化项：
因为W是一个n[l]×n[l−1]矩阵，所以：
加入正则化项后，反向传播时：
可见W[l]在更新时会多减去一项αλ/m*W[l]。
代码更改
在NN_initpara_1.py基础上（保留参数初始化更改），删除参数初始化模式的选择，强制全为前文的norm类型。文件名“NN_L2Reg_1.py”，其他更改如下。
- 训练集更改（总点数m改为150）；
def datagen():
np.random.seed(1)
m = 150 #样本数
N = int(m/2) #分为两类
D = 2 #样本的特征数或维度
X = np.zeros((m,D)) #初始化样本坐标
Y = np.zeros((m,1)) #初始化样本标签
for j in range(2):
ix = range(N*j,N*(j+1))
t = np.random.randn(N)*0.4
r = np.random.randn(N)*0.4
if j==0:
X[ix] = np.c_[t-0.4, r-0.4]
else:
X[ix] = np.c_[t+0.4, r+0.4]
Y[ix] = j #red or blue
return X,Y- 单次后向运算函数；
def single_backward(dA, cache, mode, lambd):
A_pre = cache['A_pre']
W = cache['W']
b = cache['b']
A = cache['A']
m = A_pre.shape[1]
if mode=='sigmoid': #根据本层激活函数计算本层的dZ
temp = np.multiply(A, (1-A))#sigmoid函数：dZ=dA*[A(1-A)]
dZ = np.multiply(dA, temp)
if mode=='ReLU':
dZ = dA #ReLU函数：A>=0,dZ=dA
for i in range(A.shape[0]): #ReLU函数：A<0, dZ=0
dZ[i,A[i,:]<0] = 0
if mode=='tanh':
temp = (1-A**2) #tanh函数: dZ=dA*(1-A*A)
dZ = np.multiply(dA, temp)
dW = 1.0/m*np.dot(dZ, A_pre.T) + lambd/m*W #根据dZ, A_pre, W计算本层梯度dW db，同时计算dA_pre供前一层反向运算使用
db = 1.0/m*np.sum(dZ, axis=1, keepdims=True)
dA_pre = np.dot(W.T, dZ)
return dA_pre, dW, db- 后向传播函数、模型函数中形参注意也要增加lambd。
实施效果
无正则化时（令lambd=0，过拟合）：
引入L2正则化（lambd=0.5）：
dropout
原理
在神经网络中对每层的每个节点预先设置一个被消除的概率，之后在训练随机决定将其中的某些节点给消除掉，得到一个被缩减的神经网络，以此来到达降低方差的目的。
利用dropout，可以简化神经网络的部分结构，从而达到预防过拟合的作用。另外，当输入众多节点时，每个节点都存在被删除的可能，这样可以减少神经网络对某一个节点的依赖性，也就是对某一特征的依赖，扩散输入节点的权重，收缩权重的平方范数。
代码更改
在NN_initpara_1.py基础上（保留参数初始化更改），删除参数初始化模式的选择，强制全为前文的norm类型。文件名“NN_dropout_1.py”，其他更改如下。
- 训练集更改，与前文L2正则化中相同；
- 单次前向运算函数（进行预测时，不能使用dropout，因此增加了“None”分支）；
def single_forward(A_pre, W, b, mode, dropout_prob):
if dropout_prob=='None':
Z = np.dot(W, A_pre) + b #根据上一层的输出A_pre，以及本层的W b计算本层的Z
else:
D = np.random.randn(A_pre.shape[0],A_pre.shape[1])<dropout_prob
A_pre = A_pre*D
A_pre /= dropout_prob
Z = np.dot(W, A_pre) + b #根据上一层的输出A_pre，以及本层的W b计算本层的Z
if mode=='sigmoid': #根据所选定的激活函数计算本层的输出
A = 1.0/(1+np.exp(-Z))
if mode=='ReLU':
A = (Z+abs(Z))/2
if mode=='tanh':
A = np.tanh(Z)
cache = {'A_pre':A_pre,
'W':W,
'b':b,
'Z':Z,
'A':A}
return A, cache- 前向传播函数，增加形参dropout_prob，且在第一层和最后一层不使用dropout；
def prop_forward(X, parameters, dropout_prob):
caches = []
A = X #将X赋给A0
L = len(parameters)//2
for l in range(1,L): #l从1到L-1，调用L-1次前向运算，由于A0的特征值存在大量负数，
A_pre = A #因此第一层激活函数如果选用ReLU无法正确训练网络，因为大量的信息被截掉
if l==1:
A,cache = single_forward(A_pre, parameters['W'+str(l)], parameters['b'+str(l)], 'tanh', 'None')
else:
A,cache = single_forward(A_pre, parameters['W'+str(l)], parameters['b'+str(l)], 'tanh', dropout_prob)
caches.append(cache)
AL,cache = single_forward(A, parameters['W'+str(L)], parameters['b'+str(L)], 'sigmoid', 'None')
caches.append(cache)
return AL, caches- 模型函数和预测函数形参中注意增加dropout_prob。
实施效果
无dropout时（过拟合）：
使用dropout时（dropout_prob=0.8）：
总结
- 参数（W，b）初始化时，乘以1/(n[l-1])0.5后，可令前向网络的输出与输入保持在同一数量级（如果某层采用的激活函数为ReLU，则应乘以2/(n[l-1])0.5），如此处理有助于训练网络时更快收敛；
- 当网络发生过拟合时，可采用正则化的方法，常用的有L2正则化和dropout。
附
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