HDOJ 2050 折线分割平面

Problem Description

我们看到过很多直线分割平面的题目，今天的这个题目稍微有些变化，我们要求的是n条折线分割平面的最大数目。比如，一条折线可以将平面分成两部分，两条折线最多可以将平面分成7部分，具体如下所示。

Input

输入数据的第一行是一个整数C,表示测试实例的个数，然后是C 行数据，每行包含一个整数n(0

Output

对于每个测试实例，请输出平面的最大分割数，每个实例的输出占一行。

Sample Input

2
1
2

Sample Output

2
7

解题思路：

1. 先从直线分割开始分析，直线分割要想尽可能多的分块，需要直线与平面内的其他直线都相交，并且没有三条直线交于一点，因此当第n条直线添加时，要与n-1条直线相交，构成n-1个交点，从而会增加n个平面，所以n条直线分割的平面数f(n) = f(n-1) + n, 而f(1) = 2, 通过递归就可以得到

$$f(n) = \frac{n(n+1)}{2}+1$$

1. 接下来开始分析折线分割，因为每次添加一条折线，就相当于添加两条相交的直线，所以：
   *先假设所添加的折线为两条平行直线，那么添加第n条折线的时候，平面内已经有2n-2条直线，那么添加第2n-1条和第2n条直线都会增加2n-2个交点，产生2n-1个平面；
   *那么添加第n条折线，会添加 2(2n-1) 个平面，总的平面数根据递推，应该是：$2n^2+1$；
   *然后，在来考虑折线，折线就是没两条直线相交，切折线两边是射线，也就是说，相交之后，交点另一部分的分块是合二为一了，所以2n条直线相交，就少了n块；
   *因此，最后折线 :

$$f(n)=2n^2-n+1$$

代码：

#include<iostream>

using namespace std;

int main()
{
    int c;
    cin>>c;
    while(c--)
    {
        int n,num;
        cin>>n;
        num=2*n*n-n+1;
        cout<<num<<endl;
    }
}