北邮《线性代数与几何》（第二版）课本习题 自制答案 Chap.4 向量组的线性相关性

4.举例说明下列各命题是错误的：
（1）若向量组 $\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_m$线性相关，则 $\alpha_1$可由 $\alpha_2,\dots,\alpha_m$线性表出。
显然错误，向量组线性相关仅仅只能推出存在一个向量可以被剩余向量线性表出，但无法确认是哪一个。
反例： $\alpha_1=(0,0,1),\alpha_2=(0,0,0)$，向量组 $\{\alpha_1,\alpha_2\}$线性相关（ $0\alpha_1+k\alpha_2=0$），但是 $\alpha_1$无法用 $\alpha_2$线性表出。
（2）若有不全为0的数 $\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_m$，使 $\lambda_1\alpha_1+\lambda_2\alpha_2+\dots+\lambda_m\alpha_m+\lambda_1\beta_1+\lambda_2\beta_2+\dots+\lambda_m\beta_m=0$成立，则 $\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_m$线性相关， $\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_m$亦线性相关。
错误，整体相关不能推出部分相关，部分无关不能推出整体无关。但是部分相关整体一定相关，整体无关部分一定无关。
反例： $\alpha_1=(1,0,0),\alpha_2=(0,1,0),\beta_1=(0,0,1),\beta_2=(1,1,1)$，易知 $\alpha_1+\alpha_2+\beta_1-\beta_2=0$，即整体相关，但是 $\{\alpha_1,\alpha_2\},\{\beta_1,\beta_2\}$均无关。
（3）若只有当 $\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_m$全为0时，等式 $\lambda_1\alpha_1+\lambda_2\alpha_2+\dots+\lambda_m\alpha_m+\lambda_1\beta_1+\lambda_2\beta_2+\dots+\lambda_m\beta_m=0$才能成立，则 $\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_m$线性无关， $\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_m$亦线性无关。
错误，如果是 $\lambda_1\alpha_1+\lambda_2\alpha_2+\dots+\lambda_m\alpha_m+\lambda_{m+1}\beta_1+\lambda_{m+2}\beta_2+\dots+\lambda_{2m}\beta_m=0$则正确。
题设中的的 $\alpha$和 $\beta$系数有关系。

标题

（4）

7.设向量组 $\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_r$线性无关，证明向量组 $\beta_1=\alpha_1+\alpha_r,\beta_2=\alpha_2+\alpha_r,\dots,\beta_{r-1}=\alpha_{r-1}+\alpha_r,\beta_r=\alpha_r$线性无关。
待定系数法+反证法
$\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_r$线性无关 等价于 如果 $\displaystyle \sum_{i=1}^{r} {\lambda_i\alpha_i}=0$，则 $\lambda_1=\lambda_2=\dots=\lambda_r=0$。
所以假设 $\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_r$线性相关，则存在一组不全为0的数 $\lambda_1\beta_1+\lambda_2\beta_2+\dots+\lambda_r\beta_r=0$，代入题设，有
$\displaystyle \sum_{i=1}^{r-1} {\lambda_i\alpha_i}$ + $\alpha_r\displaystyle \sum_{i=1}^{r} {\lambda_i}$=0，而由 $\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_r$线性无关知 $\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_{r-1}$和 $\displaystyle \sum_{i=1}^{r}\lambda_i$为零，进而得出 $\lambda_r=0$，综上得出 $\lambda_1=\lambda_2=\dots=\lambda_r=0$，则 $\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_r$线性无关。

9.如果向量组 $\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_r$线性相关，而其中任意r-1个向量线性无关，证明：要使 $k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\dots+k_r\alpha_r=0$成立，则 $k_1,k_2,\dots,k_r$必全不为零或全为零。