定义：
向量组 α 1 , α 2 , ⋯ , α s ( s ⩾ 1 ) \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s(s\geqslant1) α1,α2,⋯,αs(s⩾1) 称为线性相关,如果有数域 P P P 中不全为零的数 k 1 , k 2 , ⋯ , k s k_1,k_2,\cdots,k_s k1,k2,⋯,ks,使
k 1 α 1 + k 2 α 2 + ⋯ + k s α s = 0 k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s=0 k1α1+k2α2+⋯+ksαs=0
符号与变量说明：
- 以下均认为向量组由 n n n 个 s s s 维列向量 α 1 , α 2 , ⋯ , α s ( s ⩾ 1 ) \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s(s\geqslant1) α1,α2,⋯,αs(s⩾1) 组成.
- 矩阵 A \boldsymbol{A} A 为列向量 α 1 , α 2 , ⋯ , α s \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s α1,α2,⋯,αs 排列得到.
- R ( A ) \mathrm{R}(\boldsymbol{A}) R(A) 表示 A A A 的秩.
- X \boldsymbol{X} X 为一个 s s s 维列向量
判断方法：
- 如即 n > s n>s n>s, 那么向量组线性相关.
- 如果 n = s n=s n=s, 那么向量组线性相关等价于 ∣ A ∣ = 0 |\boldsymbol{A}|=0 ∣A∣=0, 向量组线性无关等价于 ∣ A ∣ = 0 |\boldsymbol{A}|=0 ∣A∣=0.
- 如果 n < s n<s n<s, 那么向量组线性相关等价于 R ( A ) < n \mathrm{R}(\boldsymbol{A})<n R(A)<n, 向量组线性相关等价于 R ( A ) = n \mathrm{R}(\boldsymbol{A})=n R(A)=n.
例题：
判断下列向量组是否线性相关：
α 1 = [ − 2 − 5 − 3 − 4 ] , α 2 = [ − 5 11 3 10 ] , α 3 = [ − 3 − 7 − 1 − 6 ] , α 4 = [ − 13 − 30 − 1 2 − 26 ] , \begin{aligned} \alpha_1=\begin{bmatrix}\phantom{-}2\\-5\\\phantom{-}3\\-4\end{bmatrix}, \alpha_2=\begin{bmatrix}-5\\11\\3\\10\end{bmatrix}, \alpha_3=\begin{bmatrix}-3\\\phantom{-}7\\-1\\\phantom{-}6\end{bmatrix}, \alpha_4=\begin{bmatrix}\phantom{-}13\\-30\\\phantom{-1}2\\-26\end{bmatrix}, \end{aligned} α1=⎣⎢⎢⎡−2−5−3−4⎦⎥⎥⎤,α2=⎣⎢⎢⎡−511310⎦⎥⎥⎤,α3=⎣⎢⎢⎡−3−7−1−6⎦⎥⎥⎤,α4=⎣⎢⎢⎡−13−30−12−26⎦⎥⎥⎤,
例题来源：《高等代数学习指导书》.丘维声著.第二版.P76
解法一：定义法：
设 k 1 , k 2 , k 3 , k 4 ∈ R k_1,k_2,k_3,k_4\in R k1,k2,k3,k4∈R 满足 k 1 α 1 + k 2 α 2 + k 3 α 3 + k 4 α 4 = 0 k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+k_3\alpha_3+k_4\alpha_4=0 k1α1+k2α2+k3α3+k4α4=0
即：
{ 2 k 1 − 5 k 2 − 3 k 3 + 13 k 4 = 0 − 5 k 1 + 11 k 2 7 k 3 − 30 k 4 = 0 3 k 1 + 3 k 2 − 1 k 3 + 2 k 4 = 0 − 4 k 1 + 10 k 2 6 k 3 − 26 k 4 = 0 \left\{\begin{aligned} 2k_1&-5k_2&-3k_3&+13k_4&=0\\ -5k_1&+11k_2&7k_3&-30k_4&=0\\ 3k_1&+3k_2&-1k_3&+2k_4&=0\\ -4k_1&+10k_2&6k_3&-26k_4&=0\\ \end{aligned}\right. ⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧2k1−5k13k1−4k1−5k2+11k2+3k2+10k2−3k37k3−1k36k3+13k4−30k4+2k4−26k4=0=0=0=0
写成矩阵形式即为：
[ 2 − 5 − 3 13 − 5 11 7 − 30 3 3 − 1 2 − 4 10 6 − 26 ] [ k 1 k 2 k 3 k 4 ] = [ 0 0 0 0 ] \begin{bmatrix} 2&-5&-3&13\\ -5&11&7&-30\\ 3&3&-1&2\\ -4&10&6&-26\\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix}k_1\\k_2\\k_3\\k_4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\0\\0\\0\end{bmatrix} ⎣⎢⎢⎡2−53−4−511310−37−1613−302−26⎦⎥⎥⎤⎣⎢⎢⎡k1k2k3k4⎦⎥⎥⎤=⎣⎢⎢⎡0000⎦⎥⎥⎤
经过矩阵的初等行变换，我们得到上面的方程组与下面的方程组等价：
[ 1 0 − 2 3 7 3 0 1 1 3 − 5 3 0 0 0 0 0 0 0 0 ] [ k 1 k 2 k 3 k 4 ] = [ 0 0 0 0 ] \begin{bmatrix} 1&0&-\frac{2}{3}&\frac{7}{3}\\ 0&1&\frac{1}{3}&-\frac{5}{3}\\ 0&0&0&0\\ 0&0&0&0\\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix}k_1\\k_2\\k_3\\k_4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\0\\0\\0\end{bmatrix} ⎣⎢⎢⎡10000100−32310037−3500⎦⎥⎥⎤⎣⎢⎢⎡k1k2k3k4⎦⎥⎥⎤=⎣⎢⎢⎡0000⎦⎥⎥⎤
显然,系数矩阵的行列式等于零,从而方程有非零解.方程的一般解为
{ x 1 = 2 3 x 3 − 7 3 x 4 x 2 = − 1 3 x 3 + 5 3 x 4 \left\{\begin{aligned} x_1&=\frac{2}{3}x_3-\frac{7}{3}x_4\\ x_2&=-\frac13x_3+\frac53x_4 \end{aligned}\right. ⎩⎪⎨⎪⎧x1x2=32x3−37x4=−31x3+35x4
其中一个特解为
k 1 = 3 , k 2 = − 2 , k 3 = 1 , k 4 = − 1 k_1=3,k_2=-2,k_3=1,k_4=-1 k1=3,k2=−2,k3=1,k4=−1
从而：
3 α 1 − 2 α 2 + α 3 − α 4 = 0 3\alpha_1-2\alpha_2+\alpha_3-\alpha_4=0 3α1−2α2+α3−α4=0
总结：
对于 s = n s=n s=n 的情况，如果只需要判断是否线性相关,最简单的方法就是计算行列式是否为零（其实就是研究系数矩阵的秩是否为 n n n ）.如果需要找到一组不全为零的 k 1 , k 2 , ⋯ , k n k_1,k_2,\cdots,k_n k1,k2,⋯,kn ,那么需要求解方程 A X = 0 \boldsymbol{AX}=\boldsymbol{0} AX=0
对于 n < s n<s n<s 的情况，由于此时系数矩阵不是方阵，无法计算行列式，因此我们需要研究系数矩阵的秩是否小于 n n n ，如果需要找到一组不全为零的 k 1 , k 2 , ⋯ , k n k_1,k_2,\cdots,k_n k1,k2,⋯,kn ,那么也需要求解方程 A X = 0 \boldsymbol{AX}=\boldsymbol{0} AX=0
2021年1月4日19:26:01
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