LightOJ1336 Sigma Function(思维)

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题意：

求1-N中有多少数的因数之和是偶数

思路：

题目给了两个公式。一个是任意数可以化成质因数次方的积，第二个是求因数之和的公式。

由公式可知，如果任意一个 $\frac{p^{e + 1} - 1}{p-1}$ 是偶数的话，那么 $\sigma (n)$ 就是个偶数，因为

奇数* 奇数= 奇数，偶数偶数=偶数，奇数偶数= 偶数，

1.当p为2时， $\frac{p^{e + 1} - 1}{p-1}$ ，一定是一个奇数

2.当p不为2时，因为素因子只有2是偶数，那么对于其他的素因子它的e+1如果是偶数的话，那么就是偶数,拿e+1=4举个栗子吧

（1） $\fn_jvn \frac{p^4-1}{p - 1} =\frac{(p^2+1)*(p^2-1)}{p-1}=\frac{(p^2+1)*(p+1)*(p-1)}{p-1}$

化简为 $(p^2+1)(p+1)$ ,因为p为除了2以外的素因子（皆为奇数），所以 $(p^2+1)(p+1)$ 为偶数，

在举一个e+1 = 6的例子：

（2） $\frac{p^6-1}{p-1} = \frac{(p^3-1) *(p^3 + 1)}{p-1}$ ,因为 $\frac{p^3-1}{p-1}$ 是一个奇数,而 $p^3+1$ 是一个偶数，奇*偶=偶，

所以e+1为偶数时，结果为偶数

但当e+1为奇数时（e是偶数），就不可这样化简。

即对于一个数a，它的 $a^2$ 和 $2a^2$ 必定是奇数，

因为2无论何值都为奇数，所以2对结果不影响。

对于任意的b，如果b的质因数（除2以外）全是偶次项，那么它一定是奇数，并且2是偶次项的可以由 $\sqrt{b}$ 得来，那如果2是奇数项，就不能从 $\sqrt{b}$ 得来，所以2为奇数项是要由 $\frac{\sqrt{b}}{2}$ 得来，所以红字可证

举个例子：

$5 = 5 ^1,25 = 5 ^ 2,50 = 2 * 5^2,100=2^2*5^2$

根据上面的推导， $\sigma (5)$ 是偶数，而且 $\sigma (25)$ 是奇数，如果只算 $a^2$ 的话，那么就把 $\sigma (50)$ 给漏掉了，所以 $2a^2$ 也要算上， $\sigma (100)$ 可有50推得，所以只用乘2即可.

AC代码

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <algorithm>
#include <math.h>
#include <string>
#include <string.h>
using namespace std;
int main(int argc, const char * argv[]) {
    int n;
    scanf("%d", &n);
    int cnt = 0;
    while (n--) {
        long long int t ;
        scanf("%lld", &t);
        printf("Case %d: ", ++cnt);
        long long int a, b;
        a = sqrt(t);
        b = sqrt(t / 2);
        printf("%lld\n", t - a - b);
    }
    return 0;
}

参考链接：https://www.cnblogs.com/Ritchie/p/5299970.html