数论(约数之和) - Sigma Function - LightOJ 1336

数论(约数之和) - Sigma Function - LightOJ 1336

题意：

$根据算数基本定理，对任意正整数n，可分解为：$

$n=p_1^{a_1}×p_2^{a_2}×...×p_k^{a_k}，其中p_1,p_2,...,p_k是n的素因子，a_i≥0。$

$约数之和:$

$σ(n)=\frac{p_1^{a_1+1}-1}{p_1-1}×\frac{p_2^{a_2+1}-1}{p_2-1}×...×\frac{p_k^{a_k+1}-1}{p_k-1}$

$=(1+p_1^1+p_1^2+...+p_1^{a_1})×(1+p_2^1+p_2^2+...+p_2^{a_2})×...×(1+p_k^1+p_k^2+...+p_k^{a_k})$

$计算区间[1,n]内，有多少个正整数i，满足i的约数之和σ(i)是偶数。$

输入：

$T组测试数据，$

$每组包括一个正整数n。$

输出：

$一个正整数，表示答案。$

Sample Input

4
3
10
100
1000

Sample Output

Case 1: 1
Case 2: 5
Case 3: 83
Case 4: 947

数据范围：

$T≤100，1≤n≤10^{12}$

---

分析：

$对于每个正整数n，求约数之和的时间复杂度为O(\sqrt{n})，$

$若对[1,n]内的每个数都暴力统计一次，显然是不能够的。$

$我们考虑从σ(n)的特征入手。$

$\sigma(n)是乘积的形式，我们要判断其奇偶性，我们知道：$

$①、偶数×偶数=偶数$

$②、偶数×奇数=偶数$

$③、奇数×奇数=奇数$

$由此可见，\sigma(n)为奇数的可能性是比较少的。$

$所以，我们可以求出[1,n]内，约数之和为奇数的数的个数cnt，再用总数n-cnt，得到答案。$

下探究σ(n)何时为奇数：

$需满足对n的任意质因子p_i，1+p_i^1+p_i^2+...+p_i^{a_i}为奇数。$

$在所有的素数中，仅2为偶数，其他素数均为奇数。$

$①、当n有素因子2时，1+2^1+2^2+...+2^{a_1}恒为奇数。$

$②、对于其他素因子p_i，要使1+p_i^1+p_i^2+...+p_i^{a_i}为奇数，必有p_i^1+p_i^2+...+p_i^{a_i}为偶数，$

$\qquad首先p_i^k必为奇数，偶数个奇数相加为偶数，故a_i必为偶数。$

$\qquad也就是说，对于任意的p_i≠2，1+p_i^1+p_i^2+...+p_i^{a_i}为奇数当且仅当a_i为偶数。$

$总结：\sigma(n)为奇数，当且仅当n的所有素因子(除了2以外)的指数a_i均为偶数，$

$\qquad\quad若存在素因子2，对因子2的指数无要求。$

$由于a_i为偶数，我们记a_i=2a_i'，则n=2^k×(p_1^{a_1'})^2×(p_2^{a_2'})^2×...×(p_k^{a_k'})^2$

$其中k为任意非负整数，我们发现，(p_1^{a_1'})^2×(p_2^{a_2'})^2×...×(p_k^{a_k'})^2是一个完全平方数，$

$当k为偶数时，n就是一个完全平方数；当k为奇数时，n是一个完全平方数的两倍。$

$综上：\sigma(n)为奇数，当且仅当n是一个完全平方数或是一个完全平方数的两倍。$

$因此，我们仅需统计出[1,n]以内，所有是完全平方数和完全平方数的2倍的数的个数，即为cnt。答案为n-cnt。$

$可以证明，一个完全平方数的2倍一定不是完全平方数，因此统计这两种数不会产生冲突。这里可以简化代码。$

注意： $我们最后要输出n-cnt，n是long\ long级别的，最后要以长整型格式输出。$

代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>

#define ll long long

using namespace std;

int T;
ll n;

int main()
{
    cin>>T;
    for(int t=1;t<=T;t++)
    {
        cin>>n;
        int cnt=0;
        for(ll i=1;i*i<=n;i++,cnt++)
            if(2*i*i<=n) cnt++;
        printf("Case %d: %lld\n",t,n-cnt);
    }
    
    return 0;
}