嗯.. 这道题看了好多题解 一直看的可迷 然后 我根据别人写的题解以及自己的理解来写一波题解。。。
首先给出题目中的公式的推导过程：
n是一个整数，f(n)代表他的因子的和。假设n=12，对他进行素因子分解可得n=2^2*3。12的因子有1,2,3,4,6,12，和为28。根据题目中的公式：f(n)=(2^3-1)/(2-1)*(3^2-1)/(3-1)=7*4=28。为什么会是这样呢？将因子再进行素因子分解可以发现：1=2^0*3^0 , 2=2^1*3^0 , 3=2^0*3^1 , 4=2^2*3^0 , 6=2^1 *3^1 , 12=2^2*3^1。所以1+2+3+4+6+12=2^0*3^0+2^1*3^0+2^0*3^1+2^2*3^0+2^1 *3^1+2^2*3^1=(2^0+2^1+2^2)*(3^0+3^1)。利用等比数列前n项和公式：(2^3-1)/(2-1)*(3^2-1)/(3-1)=7*4=28。推导完毕。
事实上，这称之为积性函数。
这道题的题意：
求 1—n 中，有多少个数的因子和是偶数。
题解：
打表找规律。
素因子分解打表计算前n项和判断奇数偶数可以发现如下规律：
只要是2^x,a^2,2*a^2...只有这种数的因子和是奇数。所以，我们直接去重即可。
但是这些直接去重我们会发现减去的这些值有重复的，所以我们要判断下。
i (代表x||a): 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ......
2^x: 1 2 4 8 16 32 64 128 ......
a^2: 0 1 4 9 16 25 36 49 64 ......
2*a^2: 0 2 8 18 32 50 72 ......
我们可以发现2^x里面有的数，a^2和2*a^2里面都有。
加下划线的字一一对应，加粗的字一一对应。
①2^x和a^2, 当x为偶数时二者出现重复。
②2^x和2*a^2，当x为奇数时，二者出现重复。
所以不需要考虑2^x的个数，直接用n减去a^2和2*a^2的个数就是我们要的结果。
易知：a^2的个数=sqrt(n)，2*a^2的个数=sqrt(n/2)。
那么为什么会是这样呢？给出推导过程：
n=p1^e1*p2^e2...,则f(n)=(p1^(e1+1)-1)/(p1-1))*(p2^(e2+1)-1)/(p2-1))....
且(p1^(e1+1)-1）/(p1-1))=p1^0+p1^1......+p1^e1; // 等比数列求前n项和的公式 看了半天 没看出来（真菜啊）
要使得f(n)为奇数，则(p1^(e1+1)-1)/(p1-1)到(pn^(en+1)-1)/(pn-1)都要为奇数;
因为奇数*奇数=奇数，奇数*偶数=偶数;
1)当p=2时，2^(e+1)-1,一定为奇数;
2)当p!=2时，则p为奇数(因为p是素因子)，则当e为偶数时(p^(e+1)-1)/(p-1)为奇数。
于是sigma(s)为奇数的时候，s可以以两种方法得到：s=a^2，s=2*b^2；
（不管a原来的sigma是怎么样的，a^2一定是“所有的e[i]都为偶数，使得任意括号内的和都为奇数，从而a^2为奇数”）
（b也与a一样，但是a的2的次数一定也是偶数，然而sigma为奇数的数中，2的次数是可奇可偶的，所以有乘以2）
有种先微观再宏观的感jio
然后s还要满足s<=n，
于是a的个数，b的个数分别为sqrt(n),sqrt(n/2)，所以sigma为奇数的数的个数为sqrt(n)+sqrt(n/2)....然后减一减
#include <iostream>
#include <cmath>
#include <cstdio>
using namespace std;
typedef long long ll;
int main()
{
int t,cas=1;
cin>>t;
while(t--)
{
ll n,a,b;
cin>>n;
a=sqrt(n);
b=sqrt(n/2);
printf("Case %d: %lld\n",cas++,n-a-b);
}
return 0;
}