LightOJ - 1336 Sigma Function（唯一分解定理，n以内平方数个数）

链接：LightOJ - 1336 Sigma Function

题意：

$\sigma(x)$表示 $x$的所有因数之和，给出 $n\;(1\le n\le10^{12})$，问 $1$ ~ $n$中有多少数的 $\sigma$值是偶数？

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分析：

根据唯一分解定理，有 $x=p_1^{a_1}\cdot p_2^{a_2}\cdots p_k^{a_k}$

则 $\sigma(x)=(1+p_1+p_1^2+\dots+p_1^{a_1})(1+p_2+p_2^2+\dots+p_2^{a_2})\cdots(1+p_k+p_k^2+\dots+p_k^{a_k})$

由于 奇数 $\times$奇数 $=$奇数 $,\;$偶数 $\times$奇数 $=$偶数，所以我们可以 讨论 $\sigma(x)$为奇数的情况，即 所有乘数均为奇数 的情况。

当 $p=2$时，可以发现，无论 $a$是多少， $(1+p+p^2+\dots+p^a)$都一定为奇数；

而当 $p\neq2$时（则质因数 $p$一定是奇数），可以发现，仅当 $a$为偶数的时候， $(1+p+p^2+\dots+p^a)$为奇数，否则为偶数。

然后，我们可以对质因数 $2$的指数 $a$进行讨论，若 $a$是偶数，因为其他质因数的 $a$也是偶数，所以这个数满足 $k^2$
若 $a$是奇数，同理，因为其他质因数的 $a$是偶数，则这个数满足 $2*k^2$

所以，我们只需要找到上述两种数的个数：

• $n$以内满足 $k^2$的个数： $\sqrt n$（因为 $1$ ~ $\sqrt n$的所有数平方后都在 $n$以内）
• $n$以内满足 $2*k^2$的个数： $\sqrt \frac{n}{2}$（因为 $1$ ~ $\sqrt \frac{n}{2}$的所有数平方后乘以 $2$都在 $n$以内）

则最终答案为 $ans=n-\sqrt n-\sqrt \frac{n}{2}$

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以下代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define LL long long
using namespace std;
int main()
{
    int T,kase=0;
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        LL n,ans;
        scanf("%lld",&n);
        ans=n-(LL)sqrt(n)-(LL)sqrt(n/2);
        printf("Case %d: %lld\n",++kase,ans);
    }
    return 0;
}