矩阵取数问题dp～51Nod1084+1083

先看第一个比较简单的问题：

一个N*N矩阵中有不同的正整数，经过这个格子，就能获得相应价值的奖励，从左上走到右下，只能向下向右走，求能够获得的最大价值。

例如：3 * 3的方格。

1 3 3

2 1 3

2 2 1

能够获得的最大价值为：11。

Input

第1行：N，N为矩阵的大小。(2 <= N <= 500)
第2 - N + 1行：每行N个数，中间用空格隔开，对应格子中奖励的价值。（1 <= Nii <= 10000)

Output

输出能够获得的最大价值。

Sample Input

Sample Output

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
int _map[505][505];
int ans[505][505];
int main()
{
    int n;
    int maxnum=-1;
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for (int j=1;j<=n;j++)
            cin>>_map[i][j];
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for (int j=1;j<=n;j++)
            _map[i][j]+=max(_map[i][j-1],_map[i-1][j]);
    for (int i=1;i<=n;i++)
       maxnum=max(maxnum,_map[n][i]);
       cout<<maxnum;
    return 0;
}

这个题可以直接看作从（0，0）到（n，n）最大值的问题

在看比较复杂的题：

一个M*N矩阵中有不同的正整数，经过这个格子，就能获得相应价值的奖励，先从左上走到右下，再从右下走到左上。第1遍时只能向下和向右走，第2遍时只能向上和向左走。两次如果经过同一个格子，则该格子的奖励只计算一次，求能够获得的最大价值。

例如：3 * 3的方格。

1 3 3

2 1 3

2 2 1

能够获得的最大价值为：17。1 -> 3 -> 3 -> 3 -> 1 -> 2 -> 2 -> 2 -> 1。其中起点和终点的奖励只计算1次。

Input

第1行：2个数M N，中间用空格分隔，为矩阵的大小。(2 <= M, N <= 200)
第2 - N + 1行：每行M个数，中间用空格隔开，对应格子中奖励的价值。(1 <= Ai,ji,j <= 10000)

Output

输出能够获得的最大价值。

Sample Input

Sample Output

这个问题就不是和上面的一样了，要求的是先到右下角然后返回左上角的最大价值，并且要是经过相同的位置该位置的价值只能取一次。

从左上角到右下角再回到左上角，这个过程可以看作从左上角同时走两路到右下角，我们记录两路当前的位置，这样就可以处理“同一个格子的数只能取一次”了。

1. 假设是m行, n列的矩阵，那么从左上角，走到右下角，需要的步数就是, (m + n)步；当有两条路径的时候，也就是i + j = p + q
2. 保证两条线不相交:
假设下一个目标节点是(i, j, p, q)那么需要推导的点就是
(i - 1, j) (p - 1, q)
(i, j - 1) (p, q - 1)

因此 max(dp[i - 1][j][p - 1][q], dp[i - 1][j][p][q - 1],
dp[i][j - 1][p - 1][q], dp[i][j - 1][p][q - 1]) + val[i][j] + val[p][q]
3. 优化:
因为知道步数之后, 知道行坐标, 即可推算出纵坐标
那么, 优化后的dp方程为
k = i + j = p + q

其实需要判定列的原因是为了`取`val中的值
j = k - i;
q = k - q;

那么对于行存在两种可能 (i - 1, p) (i, p - 1), (i - 1, p - 1), (i, j) 最后一种情况是, 列变化了
dp[k][i][p] = max (dp[k - 1][i - 1][p], dp[k - 1][i][p - 1], dp[k - 1][i - 1][p - 1], dp[k - 1][i][p]) + val[i][j] + val[p][q]
其中i != p

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>

using namespace std;

const int M=205;
int a[M][M];
int dp[2*M][M][M];   //三维  第一维是步数，第二维是第一个走法的横坐标，第三维是第二种走法的横坐标
 

int main()
{
	int n,m;
	while(scanf("%d%d",&m,&n)!=EOF)
	{
		memset(dp,0,sizeof(dp));
		memset(a,0,sizeof(a));
		for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=m;j++)
		cin>>a[i][j];
		int d;
		for(int x1=1;x1<=n;x1++)
		for(int x2=1;x2<=n;x2++)
		for(int k=max(x1,x2)+1;k<=min(x1,x2)+m;k++){
			if(x1!=x2) d=a[x1][k-x1]+a[x2][k-x2];
			else d=a[x1][k-x1];
			dp[k][x1][x2] = max(dp[k-1][x1-1][x2],max(dp[k-1][x1][x2-1],max(dp[k-1][x1-1][x2-1],dp[k-1][x1][x2])))+d;
			
		}
		cout<<dp[m+n][n][n]<<endl;
	}
	
	return 0;
}

矩阵取数问题dp～51Nod1084+1083

猜你喜欢