Learning：欧拉函数

定义：

对正整数 $n$ ，欧拉函数是小于等于 $n$ 的数中与 $n$ 互质的数的数目，又称 $\phi$ 函数。例如 $\phi(8)=4$ 。

引理：

如果 $n$ 为某个素数 $p$ ，则 $\phi(p)=p-1$ 。
如果 $n$ 为某个素数 $p$ 的幂次 $\phi(p^a)=p^{a-1}(p-1)$ 。
$\phi$ 函数为积性函数。
设 $n=\sum_{i=0}^kp_i^{a_i}$ 为正整数 $n$ 的素数幂乘积表达式，则： $\phi(n)=n\prod_{i=1}^k\frac{p_i-1}{p_i}$ 。

证明都不难，自己推一推吧。

由引理1,2,3，我们不难可以想到怎么对欧拉函数进行线性筛。代码如下：

int n,m,cnt,ans,x,y,phi[N],prm[N],vis[N];
void init(){
    phi[1]=1;
    for(int i=2;i<N;i++){
        if(!vis[i]){
            prm[cnt++]=i;
            phi[i]=i-1;
        }
        for(int j=0,k=prm[0]*i;j<cnt&&k<N;j++,k=prm[j]*i){
            vis[k]=1;
            if(!(i%prm[j])){
                phi[k]=phi[i]*prm[j];
                break;
            }
            phi[k]=phi[i]*phi[prm[j]];
        }
    }
    return;
}

给几道题：

【POJ3090】Visible Lattice Points

【bzoj4804】欧拉心算

欧拉定理：

若 $a$ 与 $m$ 互质，则 $a^{\phi(m)}\equiv1\pmod m$ 。

在证明这个定理之前，我们要先证明另外一个东西：若 $gcd(c,p)=1,ac\equiv bc\pmod p$ ，则 $a\equiv b\pmod p$ 。

$\because gcd(c,p)=1$

$\therefore$ $c$ 在模 $p$ 的意义下存在逆元

又 $\because ac\equiv bc\pmod p$

$\therefore ac\cdot c^{-1}\equiv bc\cdotc^{-1}\pmod p$

$\therefore a\equiv b\pmod p$

接下来我们来证明一下欧拉定理。

证明：

设集合 $Z=\{x_1,x_2,x_3,...,x_{\phi(m)}\}$ ， $S=\{ax_1\mod m,ax_2\mod m,ax_3\mod m,...,ax_{\phi(m)}\mod m\}$ 。

$\because gcd(a,m)=1$

$\therefore$ 不难得到 $S=Z$

$\therefore \prod_{i=1}^{\phi(m)}ax_i\equiv\prod_{i=1}^{\phi(m)}x_i\pmod m$

$\therefore a^{\phi(m)}\prod_{i=1}^{\phi(m)}x_i=\prod_{i=1}^{\phi(m)}x_i\pmod m$

又 $\because gcd(\prod_{i=1}^{\phi(m)}x_i,m)=1$

$\therefore a^{\phi(m)}\equiv1\pmod m$

扩展欧拉定理

$a^n\equiv\left\{\begin{matrix} a^{n\mod\phi(m)}&gcd(a,m)=1\\ a^n & gcd(a,m)\not=1,n<\phi(m)\\ a^{(n\mod\phi(m))+\phi(m) &gcd(a,m)\not=1,n\geq\phi(m) \end{matrix}\right.\pmod m$