交叉熵相对熵

交叉熵（cross entropy）是深度学习中常用的一个概念，一般用来求目标与预测值之间的差距。

1 信息量

假设 $X$

I (x 0) = - l o g (p (x 0))

由于是概率所以 $p (x_{0})$

可见该函数符合我们对信息量的直觉

2 熵

考虑另一个问题，对于某个事件，有 $n$

序号	事件	概率p	信息量I
A	电脑正常开机	0.7	-log(p(A))=0.36
B	电脑无法开机	0.2	-log(p(B))=1.61
C	电脑爆炸了	0.1	-log(p(C))=2.30

注：文中的对数均为自然对数

我们现在有了信息量的定义，而熵用来表示所有信息量的期望，即：

H (X) = - \sum i = 1 n p (x i) l o g (p (x i))

其中n代表所有的n种可能性，所以上面的问题结果就是

H (X) = = = - [p (A) l o g (p (A)) + p (B) l o

然而有一类比较特殊的问题，比如投掷硬币只有两种可能，字朝上或花朝上。买彩票只有两种可能，中奖或不中奖。我们称之为0-1分布问题（也叫二项分布），对于这类问题，熵的计算方法可以简化为如下算式：

H (X) = = - \sum i = 1 n p (x i) l o g (p (x i))

3 相对熵（KL散度）

相对熵又称KL散度,如果我们对于同一个随机变量 x 有两个单独的概率分布 P(x) 和 Q(x)，我们可以使用 KL 散度（Kullback-Leibler (KL) divergence）来衡量这两个分布的差异

维基百科对相对熵的定义

In the context of machine learning, DKL(P‖Q) is often called the information gain achieved if P is used instead of Q.

即如果用P来描述目标问题，而不是用Q来描述目标问题，得到的信息增量。

在机器学习中，P往往用来表示样本的真实分布，比如[1,0,0]表示当前样本属于第一类。Q用来表示模型所预测的分布，比如[0.7,0.2,0.1]
直观的理解就是如果用P来描述样本，那么就非常完美。而用Q来描述样本，虽然可以大致描述，但是不是那么的完美，信息量不足，需要额外的一些“信息增量”才能达到和P一样完美的描述。如果我们的Q通过反复训练，也能完美的描述样本，那么就不再需要额外的“信息增量”，Q等价于P。

KL散度的计算公式：

D K L (p | | q) = \sum i = 1 n p (x i) l o g (p ( x i )

$p (x_{0})$

4 交叉熵

对式3.1变形可以得到：

D K L (p | | q) = = \sum i = 1 n p (x i) l o

等式的前一部分恰巧就是p的熵，等式的后一部分，就是交叉熵：

H (p, q) = - \sum i = 1 n p (x i) l o g (q (x i))

在机器学习中，我们需要评估label和predicts之间的差距，使用KL散度刚刚好，即 $D_{K L} (y | | \hat{y})$

机器学习中交叉熵的应用

1 为什么要用交叉熵做loss函数？

在逻辑回归问题中，常常使用MSE（Mean Squared Error）作为loss函数，比如：

l o s s = 1 2 m \sum i = 1 m ( y i - y i ^ ) 2

这里的m表示m个样本的，loss为m个样本的loss均值。
MSE在逻辑回归问题中比较好用，那么在分类问题中还是如此么？