我们在之前研究过两个随机变量的独立性，我们定义若两个随机变量X,YX,Y满足
P(X,Y)=P(X)P(Y)P(X,Y)=P(X)P(Y)
则我们说随机变量
X,YX,Y独立。下面来直观地理解这个公式，可以发现，如果
X,YX,Y独立，那么已知
XX，将不会对
YY的分布产生任何影响，即是说
P(Y)=P(Y|X)P(Y)=P(Y|X)，这个结果的证明也很简单，由贝叶斯公式：
P(Y|X)=P(X,Y)P(X)=P(X)P(Y)P(X)=P(Y)P(Y|X)=P(X,Y)P(X)=P(X)P(Y)P(X)=P(Y)
即证。
由此可以看出，独立性反应了已知XX的情况下，YY的分布是否会改变，或者说，在给定随机变量XX之后，能否为YY带来额外的信息。然而独立性只能表示出两个随机变量之间是否会有关系，但是却不能刻画他们的关系大小。下面我们引入互信息，它不仅能说明两个随机变量之间是否有关系，也能反应他们之间关系的强弱。我们定义互信息I(X,Y)I(X,Y)：
I(X;Y)=∫X∫YP(X,Y)logP(X,Y)P(X)P(Y) I(X;Y)=∫X∫YP(X,Y)logP(X,Y)P(X)P(Y)
我们来稍微理解一下，log里面就是X,YX,Y的联合分布和边际分布的比值，如果对所有X,YX,Y，该值等于1，即是说他们独立的情况下，互信息I(X;Y)=0I(X;Y)=0，即是说这两个随机变量引入其中一个，并不能对另一个带来任何信息，下面我们来稍稍对该式做一个变形
I(X;Y)=∫X∫YP(X,Y)logP(X,Y)P(X)P(Y)=∫X∫YP(X,Y)logP(X,Y)P(X)−∫X∫YP(X,Y)logP(Y)=∫X∫YP(X)P(Y|X)logP(Y|X)−∫YlogP(Y)∫XP(X,Y)=∫XP(X)∫YP(Y|X)logP(Y|X)−∫YlogP(Y)P(Y)=−∫XP(X)H(Y|X=x)+H(Y)=H(Y)−H(Y|X)I(X;Y)=∫X∫YP(X,Y)logP(X,Y)P(X)P(Y)=∫X∫YP(X,Y)logP(X,Y)P(X)−∫X∫YP(X,Y)logP(Y)=∫X∫YP(X)P(Y|X)logP(Y|X)−∫YlogP(Y)∫XP(X,Y)=∫XP(X)∫YP(Y|X)logP(Y|X)−∫YlogP(Y)P(Y)=−∫XP(X)H(Y|X=x)+H(Y)=H(Y)−H(Y|X)
其中，H(Y)H(Y)是YY的熵，定义为
H(Y)=−∫YP(Y)logP(Y)H(Y)=−∫YP(Y)logP(Y)
衡量的是
YY的不确定度，即使说，
YY分布得越离散，
H(Y)H(Y)的值越高，而
H(Y|X)H(Y|X)则表示在已知
XX的情况下，
YY的不确定度，而
I(X;Y)I(X;Y)则表示由
XX引入而使
YY的不确定度减小的量，因而如果
X,YX,Y关系越密切，
I(X;Y)I(X;Y)越大，
I(X;Y)I(X;Y)最大的取值是
H(Y)H(Y)，也就是说，
X,YX,Y完全相关，由于X的引入，
YY的熵由原来的
H(Y)H(Y)减小了
I(X;Y)=H(Y)I(X;Y)=H(Y)，变成了0，也就是说如果
XX确定，那么
YY就完全确定了。而当
X,YX,Y独立时，
I(X;Y)=0I(X;Y)=0引入
XX，并未给
YY的确定带来任何好处。
【1】来源：http://www.fuzihao.org/blog/2015/01/17/%E4%BA%92%E4%BF%A1%E6%81%AF%E7%9A%84%E7%90%86%E8%A7%A3/
【2】条件熵：https://blog.csdn.net/xwd18280820053/article/details/70739368
【3】交叉熵/相对熵：https://blog.csdn.net/u012177034/article/details/61205473