算法设计与分析--01背包问题（动态规划法解决）

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这个学期开的算法设计与分析课程老师说是研究生才要学的课，但是我们大二就要学！  虽然有难度，但还是要学滴。

上机课题目有一道0-1背包的问题，上课的时候由于没有听课。。所以只有自己再啃书本了。

代码虽然不长，但是还是。。很有。。技术含量的。

本人文笔不是很好，所以就 不多说啦！直接上菜！

问题描述：

给定N中物品和一个背包。物品i的重量是W_i,其价值位V_i ，背包的容量为C。问应该如何选择装入背包的物品，使得转入背包的物品的总价值为最大？？

在选择物品的时候，对每种物品i只有两种选择，即装入背包或不装入背包。不能讲物品i装入多次，也不能只装入物品的一部分。因此，该问题被称为0-1背包问题。 

问题分析：令V(i,j)表示在前i(1<=i<=n)个物品中能够装入容量为就j(1<=j<=C)的背包中的物品的最大价值，则可以得到如下的动态规划函数:

(1)   V(i,0)=V(0,j)=0 

(2)   V(i,j)=V(i-1,j)  j<w_i  

       V(i,j)=max{V(i-1,j) ,V(i-1,j-w_i)+v_i) } j>w_i

(1)式表明：如果第i个物品的重量大于背包的容量，则装人前i个物品得到的最大价值和装入前i-1个物品得到的最大价是相同的，即物品i不能装入背包；第(2)个式子表明:如果第i个物品的重量小于背包的容量，则会有一下两种情况：(a)如果把第i个物品装入背包，则背包物品的价值等于第i-1个物品装入容量位j-w_i 的背包中的价值加上第i个物品的价值v_i;(b)如果第i个物品没有装入背包，则背包中物品价值就等于把前i-1个物品装入容量为j的背包中所取得的价值。显然，取二者中价值最大的作为把前i个物品装入容量为j的背包中的最优解。

  1 #include<stdio.h>

 2 
 3  int V[ 200][ 200]; // 前i个物品装入容量为j的背包中获得的最大价值
 4  int max( int a, int b)
 5 {
 6     if(a>=b)
 7         return a;
 8     else  return b;
 9 }
10 
11  int KnapSack( int n, int w[], int v[], int x[], int C)
12 {
13      int i,j;
14      for(i= 0;i<=n;i++)
15         V[i][ 0]= 0;
16      for(j= 0;j<=C;j++)
17         V[ 0][j]= 0;
18      for(i= 0;i<=n- 1;i++)
19          for(j= 0;j<=C;j++)
20              if(j<w[i])
21                 V[i][j]=V[i- 1][j];
22              else
23                 V[i][j]=max(V[i- 1][j],V[i- 1][j-w[i]]+v[i]);
24             j=C;
25              for(i=n- 1;i>= 0;i--)
26             {
27                  if(V[i][j]>V[i- 1][j])
28                 {
29                 x[i]= 1;
30                 j=j-w[i];
31                 }
32              else
33                 x[i]= 0;
34             }
35             printf( " 选中的物品是:\n ");
36              for(i= 0;i<n;i++)
37                 printf( " %d  ",x[i]);
38             printf( " \n ");
39          return V[n- 1][C];
40         
41 }
42 
43  void main()
44 {
45      int s; // 获得的最大价值
46       int w[ 15]; // 物品的重量
47       int v[ 15]; // 物品的价值
48       int x[ 15]; // 物品的选取状态
49       int n,i;
50      int C; // 背包最大容量
51      n= 5;
52     printf( " 请输入背包的最大容量:\n ");
53     scanf( " %d ",&C);
54     
55     printf( " 输入物品数:\n ");
56     scanf( " %d ",&n);
57     printf( " 请分别输入物品的重量:\n ");
58      for(i= 0;i<n;i++)
59         scanf( " %d ",&w[i]);
60 
61     printf( " 请分别输入物品的价值:\n ");
62      for(i= 0;i<n;i++)
63         scanf( " %d ",&v[i]);
64 
65     s=KnapSack(n,w,v,x,C);
66 
67     printf( " 最大物品价值为:\n ");
68     printf( " %d\n ",s);
69    
70     
71 }

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