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0/1背包问题
#include <iostream>
#include<cstdio>
#include<string.h>
#define N 100
#define M 100
#define MAX(a,b) a < b ? b : a
using namespace std;
struct Goods
{
//int id;//物品序号
int weight;//物品重量
int value;//物品价值
};
//N,M随题意变动
Goods goods[N];//物品信息
int dp[N][M];
int X[N];//物品装入情况
int KnapSack(int n, Goods goods[],int C,int X[])//物品种类，物品详情，容量，物品装入情况
{
memset(dp,0,sizeof(dp));
memset(X,0,sizeof(X));
for(int i = 0; i <= n; i++)//初始化第0列
dp[i][0] = 0;
for(int j = 0; j <= C; j++)//初始化第0行
dp[0][j] = 0;
for(int i = 1; i <= n; i++)
{
for(int j = 1; j <= C; j++)
{
if(j < goods[i-1].weight)
dp[i][j] = dp[i-1][j];
else
dp[i][j] = MAX(dp[i-1][j],dp[i-1][j-goods[i-1].weight] + goods[i-1].value);
}
}
for(int i = n,j = C; i > 0; i--)
{
if(dp[i][j] > dp[i-1][j])
{
X[i-1] = 1;
j = j - goods[i-1].weight;
}
else
X[i-1] = 0;
}
return dp[n][C];
}
int main()
{
int n,C;//物品数量，背包容量
printf("物品种类n：");
scanf("%d",&n);
printf("背包容量C：");
scanf("%d",&C);
for(int i = 0; i < n; i++)
{
printf("物品%d的重量w[%d]及其价值v[%d]：",i+1,i+1,i+1);
scanf("%d%d",&goods[i].weight,&goods[i].value);
}
int value = KnapSack(n,goods,C,X);
printf("动态规划法求解0/1背包问题:\nX=[");
for(int i = 0; i < n; i++)
cout<<X[i]<<" ";//输出所求X[n]矩阵
printf("] 装入总价值%d\n", value);
return 0;
}
/*
5
10
2 6
2 3
6 5
5 4
4 6
*/完全背包
完全背包和0/1价值背包问题的区别在于每一件物品的数量都有无限个，而0/1背包每件物品数量只有一个。
在递推公式时，注意这里需要考虑放入一个物品i时还可能继续放入i，
所以不能是：dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i-1][j - weight[i]] + value[i]);
需要加以改变：dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - weight[i]] + value[i]);
dp[i][j]理解为容量为j的背包，对于前i种物品来讲的最大价值。
#include <iostream>
#include<cstdio>
#include<string.h>
#define N 100
#define M 100
#define MAX(a,b) a < b ? b : a
using namespace std;
struct Goods
{
//int id;//物品序号
int weight;//物品重量
int value;//物品价值
};
//N,M随题意变动
Goods goods[N];//物品信息
int dp[N][M];
int X[N];//物品装入情况
int KnapSack(int n, Goods goods[],int C,int X[])//物品种类，物品详情，容量，物品装入情况
{
memset(dp,0,sizeof(dp));
memset(X,0,sizeof(X));
for(int i = 0; i <= n; i++)//初始化第0列
dp[i][0] = 0;
for(int j = 0; j <= C; j++)//初始化第0行
dp[0][j] = 0;
for(int i = 1; i <= n; i++)
{
for(int j = 1; j <= C; j++)
{
if(j < goods[i-1].weight)
dp[i][j] = dp[i-1][j];
else
dp[i][j] = MAX(dp[i-1][j],dp[i][j-goods[i-1].weight] + goods[i-1].value);
}
}
//计算每个物品放入的个数
for(int i = n,j = C; i > 0; i--)
{
while (dp[i][j] == dp[i][j - goods[i-1].weight] + goods[i-1].value)
{
X[i-1]++;
j = j - goods[i-1].weight;
}
}
return dp[n][C];
}
int main()
{
int n,C;//物品种类，背包容量
printf("物品种类n：");
scanf("%d",&n);
printf("背包容量C：");
scanf("%d",&C);
for(int i = 0; i < n; i++)
{
printf("物品%d的重量w[%d]及其价值v[%d]：",i+1,i+1,i+1);
scanf("%d%d",&goods[i].weight,&goods[i].value);
}
int maxvalue = KnapSack(n,goods,C,X);
printf("动态规划法求解完全背包问题:\nX=[");
for(int i = 0; i < n; i++)
cout<<X[i]<<" ";//输出所求X[n]矩阵
printf("] 装入总价值%d\n", maxvalue);
return 0;
}
/*
5
11
2 6
1 2
5 16
7 22
4 6
*/多重背包
多重背包和01背包、完全背包的区别：多重背包中每种物品的数量是给定的，可能不是一个，绝对不是无限个。
方法：转化为01背包。若有kind中物品，每种物品num个，将这些物品用01背包问题解决。