算法-动态规划-解决01背包问题

一、问题描述：有n 个物品，它们有各自的重量和价值，现有给定容量的背包，如何让背包里装入的物品具有最大的价值总和？
二、总体思路：根据动态规划解题步骤（问题抽象化、建立模型、寻找约束条件、判断是否满足最优性原理、找大问题与小问题的递推关系式、填表、寻找解组成）找出01背包问题的最优解以及解组成，然后编写代码实现；
三、动态规划的原理及过程：

eg：number＝4，capacity＝8

i	1	2	3	4
w（体积）	2	3	4	5
v（价值）	3	4	5	6

1、原理

动态规划与分治法类似，都是把大问题拆分成小问题，通过寻找大问题与小问题的递推关系，解决一个个小问题，最终达到解决原问题的效果。但不同的是，分治法在子问题和子子问题等上被重复计算了很多次，而动态规划则具有记忆性，通过填写表把所有已经解决的子问题答案纪录下来，在新问题里需要用到的子问题可以直接提取，避免了重复计算，从而节约了时间，所以在问题满足最优性原理之后，用动态规划解决问题的核心就在于填表，表填写完毕，最优解也就找到。

2、过程

a) 把背包问题抽象化（X1，X2，…，Xn，其中 Xi 取0或1，表示第 i 个物品选或不选），Vi表示第 i 个物品的价值，Wi表示第 i 个物品的体积（重量）；

b) 建立模型，即求max(V1X1+V2X2+…+VnXn)；

c) 约束条件，W1X1+W2X2+…+WnXn<capacity；

d) 定义V(i,j)：当前背包容量 j，前 i 个物品最佳组合对应的价值；

e) 最优性原理是动态规划的基础，最优性原理是指“多阶段决策过程的最优决策序列具有这样的性质：不论初始状态和初始决策如何，对于前面决策所造成的某一状态而言，其后各阶段的决策序列必须构成最优策略”。判断该问题是否满足最优性原理，采用反证法证明：

假设(X1，X2，…，Xn)是01背包问题的最优解，则有(X2，X3，…，Xn)是其子问题的最优解，

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假设(Y2，Y3，…，Yn)是上述问题的子问题最优解，则理应有(V2Y2+V3Y3+…+VnYn)+V1X1 >
(V2X2+V3X3+…+VnXn)+V1X1；

而(V2X2+V3X3+…+VnXn)+V1X1=(V1X1+V2X2+…+VnXn)，则有(V2Y2+V3Y3+…+VnYn)+V1X1

(V1X1+V2X2+…+VnXn)；

该式子说明(X1，Y2，Y3，…，Yn)才是该01背包问题的最优解，这与最开始的假设(X1，X2，…，Xn)是01背包问题的最优解相矛盾，故01背包问题满足最优性原理；

f) 寻找递推关系式，面对当前商品有两种可能性：

第一，包的容量比该商品体积小，装不下，此时的价值与前i-1个的价值是一样的，即V(i,j)=V(i-1,j)；

第二，还有足够的容量可以装该商品，但装了也不一定达到当前最优价值，所以在装与不装之间选择最优的一个，即V(i,j)=max｛
V(i-1,j)，V(i-1,j-w(i))+v(i) ｝

其中V(i-1,j)表示不装，V(i-1,j-w(i))+v(i) 表示装了第i个商品，背包容量减少w(i)但价值增加了v(i)；

由此可以得出递推关系式：

j<w(i) V(i,j)=V(i-1,j)

j>=w(i) V(i,j)=max｛ V(i-1,j)，V(i-1,j-w(i))+v(i) ｝

g) 填表，首先初始化边界条件，V(0,j)=V(i,0)=0；

h) 然后一行一行的填表，

如，i=1，j=1，w(1)=2，v(1)=3，有j<w(1)，故V(1,1)=V(1-1,1)=0；

又如i=1，j=2，w(1)=2，v(1)=3，有j=w(1),故V(1,2)=max｛
V(1-1,2)，V(1-1,2-w(1))+v(1) ｝=max｛0，0+3｝=3；

如此下去，填到最后一个，i=4，j=8，w(4)=5，v(4)=6，有j>w(4)，故V(4,8)=max｛
V(4-1,8)，V(4-1,8-w(4))+v(4) ｝=max｛9，4+6｝=10；所以填完表如下图：

void FindMax()//动态规划
{
    int i,j;
    //填表
    for(i=1;i<=number;i++)
    {
        for(j=1;j<=capacity;j++)
        {
            if(j<w[i])//包装不进
            {
                V[i][j]=V[i-1][j];
            }
            else//能装
            {
                if(V[i-1][j]>V[i-1][j-w[i]]+v[i])//不装价值大
                {
                    V[i][j]=V[i-1][j];
                }
                else//前i-1个物品的最优解与第i个物品的价值之和更大
                {
                    V[i][j]=V[i-1][j-w[i]]+v[i];
                }
            }
        }
    }
}

i) 表格填完，最优解即是V(number,capacity)=V(4,8)=10，但还不知道解由哪些商品组成，故要根据最优解回溯找出解的组成，根据填表的原理可以有如下的寻解方式：

V(i,j)=V(i-1,j)时，说明没有选择第i 个商品，则回到V(i-1,j)；

V(i,j)=V(i-1,j-w(i))+v(i)实时，说明装了第i个商品，该商品是最优解组成的一部分，随后我们得回到装该商品之前，即回到V(i-1,j-w(i))；

一直遍历到i＝0结束为止，所有解的组成都会找到。

j) 如上例子，

最优解为V(4,8)=10，而V(4,8)!=V(3,8)却有V(4,8)=V(3,8-w(4))+v(4)=V(3,3)+6=4+6=10，所以第4件商品被选中，并且回到V(3,8-w(4))=V(3,3)；

有V(3,3)=V(2,3)=4，所以第3件商品没被选择，回到V(2,3)；

而V(2,3)!=V(1,3)却有V(2,3)=V(1,3-w(2))+v(2)=V(1,0)+4=0+4=4，所以第2件商品被选中，并且回到V(1,3-w(2))=V(1,0)；
4) 有V(1,0)=V(0,0)=0，所以第1件商品没被选择；

k) 到此，01背包问题已经解决，利用动态规划解决此问题的效率即是填写此张表的效率，所以动态规划的时间效率为O(numbercapacity)=O(nc)，由于用到二维数组存储子问题的解，所以动态规划的空间效率为O(n*c)；

void FindWhat(int i,int j)//寻找解的组成方式
{
    if(i>=0)
    {
        if(V[i][j]==V[i-1][j])//相等说明没装
        {
            item[i]=0;//全局变量，标记未被选中
            FindWhat(i-1,j);
        }
        else if( j-w[i]>=0 && V[i][j]==V[i-1][j-w[i]]+v[i] )
        {
            item[i]=1;//标记已被选中
            FindWhat(i-1,j-w[i]);//回到装包之前的位置
        }
    }
}

三、蛮力法检验：

1) 蛮力法是解决01背包问题最简单最容易的方法，但是效率很低

2) (X1，X2，…，Xn)其中Xi＝0或1表示第i件商品选或不选，共有n(n-1)/2种可能；

3)
最简单的方式就是把所有拿商品的方式都列出来，最后再做判断此方法是否满足装包条件，并且通过比较和记录找出最优解和解组成（如果满足则记录此时的价值和装的方式，当下一次的装法优于这次，则更新记录，如此下去到最后便会找到最优解，同时解组成也找到）；

4) n件商品，共有n(n-1)/2种可能，故蛮力法的效率是指数级别的，可见效率很低;

5)
蛮力法效率低不建议采取，但可以用于检验小规模的动态规划解背包问题的正确性和可行性，如下图输出可见，解01背包问题用动态规划是可行的：

总结：

对于01背包问题，用蛮力法与用动态规划解决得到的最优解和解组成是一致的，所以动态规划解决此类问题是可行的。动态规划效率为线性，蛮力法效率为指数型，结合以上内容和理论知识可以得出，解决此问题用动态规划比用蛮力法适合得多。

动态规划可以解决哪些类型的问题

待解决的原问题较难，但此问题可以被不断拆分成一个个小问题，而小问题的解是非常容易获得的；如果单单只是利用递归的方法来解决原问题，那么采用的是分治法的思想，动态规划具有记忆性，将子问题的解都记录下来，以免在递归的过程中重复计算，从而减少了计算量。

文章转载自：https://www.cnblogs.com/Christal-R/p/Dynamic_programming.html 原文章包含动态规划算法的空间优化。

算法-动态规划-解决01背包问题

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