动态规划法--0/1背包问题

问题描述

有n个物体，重量分别是w0~wn-1，每个物体放入背包后可获得的收益分别为p0~pn-1，背包载重为M，且所有物体要么放要么不放，不能只放一部分。求如何放物体可以得到最高的收益。

问题分析

设f(i,m)表示第i步背包的总收益，其中i表示当前进行到了第i步，m为当前背包载重，则当前第i步只有两种选择：

1. 将第i个物体放入背包 
   此时背包总收益就变成f(i-1,m-wi)+wi。

2. 第i个物体不放入背包 
   此时背包总收益就是f(i-1,m)。

第i步究竟怎么选择，知道就取决于这两种选择那个结果更大。因此要分别计算者两种情况的值，选较大者作为第i步的结果。 
这就是一个典型x的递归。

代码实现

一、

        int v[] = {60,100,120};//每个物品的价值，每个物品只有一样
        int w[] = {10,20,30};//每个物品的重量
        int n = 3;//物品数量
        int totW = 50;//背包承重

        int dp[] = new int[totW + 1];//背包在每一个重量下的最大价值

        //第i个物品，j:背包能放的重量
        for(int i = 0; i < n; i ++){

            for(int j = totW; j >= w[i]; j --){
                if(dp[j - w[i]] + v[i] > dp[j]){
                    dp[j] = dp[j - w[i]] + v[i];
                }
            }
        }
        System.out.println(dp[totW]);

二、

// 表示每一个物体是否放入背包
boolean[] isAdd = new boolean[n];
// 存储每个物体的重量
int[] weight = new int[n];
// 存储每个物体的收益
int[] p = new int[n];

/**
 * 0/1背包问题的递归函数
 * @param i : 当前是第几步
 * @param m : 当前背包载重
 * @return 最大收益
 */
int knap( int i, int m ){
    if ( i==-1 ) return 0;
    if ( weight[i]>m )
        return knap( i-1, m );

    int a = knap(i-1,m);
    int b = knap(i-1,m-weight[i])+p[i];
    if ( a>b )
        return a;
    else{
        isAdd[i] = true;
        return b;
    }
}