0-1背包问题：有一个贼在偷窃一家商店时，发现有n件物品，第i件物品价值vi，重wi。他希望带走的东西越值钱越好，但他的背包中至多只能装下C的东西。应该带走哪几样东西，使得装入背包的物品价值最大？这个问题之所以称为0-1背包，是因为每件物品或被带走；或被留下；小偷不能只带走某个物品的一部分或带走同一物品两次。
动态规划法解题的步骤：
1. 找出最优解的性质；
2. 递归地定义最优值；
3. 以自底向上的方式计算最优值；
4. 根据计算最优值过程中得到的信息，构造最优解；
package ch03.book;
/**
* Resolve 0-1 backpack problem using dynamic planning
* @author wanyongquan
*
*/
public class Backpack {
public static void main(String[] args) {
// TODO Auto-generated method stub
int[] weight = {35, 30, 60, 50, 40, 10, 25};
int[] profit = {10, 40, 30, 50, 35, 40, 30};
int[][] maxProfit = new int[weight.length][151];
backpack(profit, weight, 150, maxProfit);
int[] solution = new int[weight.length];
trackback(maxProfit, weight, 150, solution);
//
for(int i=0;i<solution.length; i++) {
System.out.printf("%4d", solution[i]);
}
System.out.printf("\r\nmax proft: %d", maxProfit[0][150]);
}
public static void backpack(int[] value, int[] weight, int capacity, int [][] m) {
int n = value.length -1;
int jMax = Math.min(weight[n] - 1, capacity);
//先计算 i= n 时的最优值；
for(int j=0; j<jMax; j++)
{
m[n][j] = 0;
}
for(int j= weight[n];j<= capacity; j++) {
m[n][j] = value[n];
}
// 接着，根据动态规划的最优值的递归定义，m[i][j] 表示背包容量为j，可选择物品为i, i+1,...,n时，0-1背包问题的最优值。
// 利用递归定义，以自底（i=n-1）向上（i=0）的方式计算最优值；
for(int i=n-1; i>0; i--) {
jMax = Math.min(weight[i] -1, capacity);
for(int j= 0; j<jMax ; j++) {
m[i][j] = m[i+1][j];
}
for(int j= weight[i]; j<=capacity; j++) {
m[i][j] = Math.max(m[i+1][j], m[i+1][j-weight[i]] + value[i]);
}
}
// 利用递归式计算i=0时的最优值；
if(capacity>= weight[0]) {
m[0][capacity] = Math.max(m[1][capacity], m[1][capacity-weight[0]] + value[0]);
}
else{
m[0][capacity] = m[1][capacity];
}
}
/**
* 根据backpack算法计算后得到的信息，计算出最优解；
*/
public static void trackback(int[][]m , int[] weight, int capacity, int [] solution) {
int n = weight.length-1;
for(int i = 0; i<n;i++) {
if (m[i][capacity] == m[i+1][capacity]) {
solution[i] = 0; // item i not been put in backpack;
}
else {
solution[i] = 1;
capacity -= weight[i];
}
}
solution[n] = m[n][capacity] > 0? 1:0;
}
}
运行结果：
solution：
1 1 0 1 0 1 1
max proft: 170
