算法分析与设计——动态规划求解01背包问题

1、算法思想

假设有四个物品，如下图，背包总容量为8，求背包装入哪些物品时累计的价值最多。
我们使用动态规划来解决这个问题，首先使用一个表格来模拟整个算法的过程。
- 表格中的信息表示指定情况下能产生的最大价值。例如，(4, 8)表示在背包容量为8的情况下，前四个物品的最佳组合所能累计的最大价值。
- 【注】第一行全0，因为第一行考虑的是前0个物品的最佳组合，也就是没有物品，它存在的意义是方便后续计算；第一列全0，因为第一列背包容量为0，不能放入任何物品，所以价值为0。
现在我们需要一步一步将这个表格填好。
考虑(1, 1)
- 表示前1个物品在背包容量为1的情况下，能装入背包的最佳组合所能累计的最大价值为多少。
- 已知，1号物品体积为2，价值为3。不能装入背包中，所以此时能产生的最大价值应该和前0个物品的一致，也就是0。
考虑(1, 2)
- 此时背包容量为2，前1个物品也就是1号物品刚好可以装入。那么需要考虑要不要将该物品装入背包。
- 如果不装，那么此时的价值应该和前0个物品的一致，也就是0。
- 如果装，那么此时的价值应该是该商品的价值+剩余容量所能装入的最大价值（前0个商品，2-2=0个容量），也就是3+0=3。
- 然后把第二行填完，即后面都为3，因为只有第一个商品。
- 2号商品体积为3，价值为4。第三行的前三列（前2个物品，容量2以内）因为不能放入2号商品，所以最大价值与前1个物品一致。
- 考虑(2, 3)
  - 背包容量为3，可以放下2号物品。那么考虑要不要将该物品装入背包。
  - 如果不装，那么此时的价值应该和前1个物品的一致，为3。
  - 如果装，那么此时的价值应该是该商品的价值+剩余容量所能装入的最大价值（前1个商品，3-3=0个容量），也就是4+0=4。
- 后面的就不再赘述，最终得到下面的表。而(4, 8)就是所能累计的最大价值。

归纳

如果装不下当前物品，那么前n个物品的最佳组合和前n-1个物品的最佳组合是一样的。

如果装得下当前物品（选取假设1和假设2中较大的价值，为当前最佳组合的价值）

假设1：装当前物品，在给当前物品预留了相应空间的情况下，前n-1个物品的最佳组合加上当前物品的价值就是总价值。

假设2：不装当前物品，那么前n个物品的最佳组合和前n-1个物品的最佳组合是一样的。

虽然得到了在指定条件下，背包能装入的最大价值，但是还不知道背包中到底装了哪些物品。
接下来就需要进行回溯，查看每种情况下背包所装入的物品。
从后往前看，(4, 8)的价值为10，考虑有没有把4号商品装入背包中。
- 如果4号商品没有装入背包中，那么此时的价值应该和前3个商品的一致，即为9，所以4号商品是装入了背包的。
减去4号商品的体积，剩下3个容量。接下来就只需要看前3个商品，容量为3的情况，即(3, 3)。
- (3, 3)的体积为4，考虑有没有把3号商品装入背包中。因为此时的价值与前2个商品的一致，所以3号商品没有装入背包中。
剩余体积不变，继续考虑前2个商品，也就是(3, 2)。
- (3, 2)的体积为3，考虑有没有把2号商品装入背包中。因为此时的价值与前1个商品的不一致，所以2号商品是装入了背包的。
减去2号商品的体积，剩下0个容量。没办法装入其他的商品了，到此结束。
所以，当2号商品和4号商品装入背包时，能产生最大价值。

归纳

从表的右下角开始回溯，如果发现前n个物品最佳组合的价值和前n-1个物品最佳组合的价值一样，说明第n个物品没有被装入；否则，第n个物品被装入。

2、实例

采用动态规划算法求解01背包问题，背包体积为100，商品体积和价格如下表：

python代码

# 求最大价值
def max_values(goods, bag_size, goods_num):
    # 创建一个二维数组来存放最大价值，100个体积，16个商品，17行，101列（保留一列为全0）
    values = [[i for i in range(bag_size + 1)] for i in range(goods_num + 1)]
    # 计算每种情况下的最大价值
    for i in range(1, goods_num + 1):
        for j in range(1, bag_size + 1):
            if goods[i][0] <= j:  # 商品体积小于等于背包容量
                # 比较放入该商品和不放入该商品产生的最大价值
                values[i][j] = max(values[i - 1][j], goods[i][1] + values[i - 1][j - goods[i][0]])
            else:  # 商品不能放入背包，此时最大价值等于前i-1个商品的最大价值
                values[i][j] = values[i - 1][j]
    return values


# 回溯，求哪些商品装入了背包
def search_goods(goods, values, bag_size, goods_num):
    good = []
    i = goods_num
    j = bag_size
    while values[i][j] != 0:
        if values[i][j] != values[i - 1][j]:  # 如果发现前n个物品最佳组合的价值和前n-1个物品最佳组合的价值不一样，说明第n个物品被装入了背包
            good.append(i)
            j -= goods[i][1]  # 减去该商品的体积
            i -= 1
        else:  # 第n个物品没有被装入
            i -= 1
    return good


if __name__ == '__main__':
    # 共有16个商品，商品的体积和价格
    goods = [[0, 0], [5, 6], [8, 3], [28, 19], [9, 20], [6, 15], [18, 12], [21, 10], [19, 22], [19, 8], [23, 18],
             [10, 14], [9, 13], [34, 18], [26, 19], [38, 33], [9, 10]]
    bag_size = 100  # 背包体积
    goods_num = 16  # 商品数量
    # price = [5, 8, 28, 9, 6, 18, 21, 19, 19, 23, 10, 9, 34, 26, 38, 9]
    # volume = [6, 3, 19, 20, 15, 12, 10, 22, 8, 18, 14, 13, 18, 19, 33, 10]
    values = max_values(goods, bag_size, goods_num)
    for i in range(goods_num + 1):  # 打印列表
        print(values[i])
    good = search_goods(goods, values, bag_size, goods_num)
    print("产生的最大价值为：", values[goods_num][bag_size])
    print("放入背包的商品为：", good)

运行结果

算法分析与设计——动态规划求解01背包问题

1、算法思想

2、实例

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