本博文取材于山东大学《线性代数》。内容六章，本章讨论线性方程组，一共六讲。
- 齐次线性方程组
- 基础解析的求法
- 非齐次方程组
- 含参数的方程组
- 与方程组有关的证明题
- 方程组习题课
齐次线性方程组
谈到齐次线性方程组的时候，处处是概念，处处是基础。
基础概念集合
齐次线性方程组定义
系数矩阵
未知向量
方程组的代数形式
方程组的矩阵形式
方程组的向量方程形式
零解
非零解 (非零解向量)
解空间
基础解系
通解
行最简形矩阵
设r(A)=r<n,且不妨设A中最左上角的r阶子式不为零。则经有限行初等变换，矩阵A化为：
自由未知量
也就是x1=-5x3.
真未知量
x2=3x3
同解方程组
两个合在一起就是
齐次线性方程组解的性质
性质1：ξ是解向量，则kξ也是解向量
A(kξ)=kAξ
性质2：ξ1，ξ2是解向量，则ξ1+ξ2也是解向量
A(ξ1+ξ2)=Aξ1+Aξ2
例题
先整出行最简形
最整出同解方程组：
最后化出通解：
得出结论
基础解系的求法
基础解系存在判定定理
若齐次线性方程组的系数矩阵A的秩r(A)=r<n,则它有基础解系，且基础解系所含解向量的个数为n-r，也被翻译成基础解系所含向量的个数为未知数个数减系数矩阵的秩。
基础解系求解推论
基础解系有非零解推论
n元齐次线性方程组有非零解的充要条件是其系数行列式为0
基础解系求解步骤
- 写出系数矩阵A并对其作初等行变化为行最简形式(同时得到r(A),这样也就可以确定基础解系所含向量的个数);
- 由行最简形式确定真未知量和自由未知量并写出原方程组同解的方程组
- 对自由未知量赋值，求出基础解系（有几个自由未知量，就应赋几组值，将其视为向量组，它们是线性无关的。）
例题
分开做嘛，AB=O
那就是X=B吗，X的解不是哪条口诀嘛！基础解系所含向量的个数为未知数个数减系数矩阵的秩。
因此
非齐次方程组
非齐次有解判定定理
增广矩阵
非齐次解的性质
性质1 非齐次方程组(1)的两个解的差是它的导出组的解。
Aη1=B,Aη2=B===>A(η1-η2)=0
性质2 非齐次方程组(1)的一个解与其导出组的一个解的和是非齐次方程组(1)的解.
Aη=B，Aξ=0==》A(η+ξ)=B
非齐次线性方程组的通解
非齐次通解的相关推论
非齐次方程组的求解步骤
- 写出增广矩阵，并将增广矩阵化为梯形阵，从而求出r(A)与增广矩阵的秩以判定是否有解；
- 在有解时，进一步将增广矩阵化为行最简形，确定真未知量与自由未知量，并写出同解方程组
- 先令自由未知量为0，求出真未知量的值与自由未知量，并写出同解方程组；
- 先令自由未知量为0，求出真未知量的值，从而求出特解η*；再给自由未知量取值，以求出基础解系；并写出通解
例题
先求出增广矩阵的秩与矩阵的秩
增广矩阵的秩等于矩阵的秩有解，得出同解方程组：
然后按照步骤，令自由未知量等于0，算出真未知量的值，把它作为特解，然后写出基础解系，最后就是通解了。
含参数的方程组
在求解方程组之前，要先确定参数值。这是行为准则。如何确定呢？根据有解的条件即：
有两种方法确定参数值。
一种是行列式法，另一种是初等变换法。
行列式法使用准则
行列式法一般在于系数矩阵无参数使用，比如
例题
方程组的系数行列式摆开，算出
a=1 a=-4/5一一尝试：
初等变换法使用准则
如果系数行列式出现参数，那么考虑使用初等变换法，如
例题
算出增广矩阵：
将λ=1和λ=-2一一尝试
λ=-2时
方程组习题课
例题1 与方程组的基本理论有关的题目
根据n-r，秩为3，阶数为4，所以含有一个，因此只要根据方程组解的性质可以整出最后的：
所以回答出：η1+kξ，其中η1是就是特解
例题2与向量组的线性表示有关的题目
其实这道题，认真分析起来，也会变成AX=B的形式，B就是β，A就是α1，α2，α3。而第二问明显就是定参数嘛！
与方程组有关的证明题
将组合式等于0写出来，然后将相关系数进行简单的合并，然后两边左乘A，继续化简，再根据已知条件，最后证明所给的结论
