线性代数(三) 线性方程组&向量空间

前言

如何利用行列式，矩阵求解线性方程组。

线性方程组的相关概念

用矩阵方程表示

• 齐次线性方程组：Ax=0；
• 非齐次线性方程组：Ax=b.

可以理解 齐次线性方程组 是特殊的 非齐次线性方程组

如何判断线性方程组的解

• 其中R(A)表示矩阵A的秩
• B表示A的增广矩阵
• n表示末知数个数

增广矩阵

矩阵的秩

秩r<= 未知数的数量n
r=n时，称为满秩

如何求解矩阵A的秩

1. 矩阵经过初等变化后秩不变
2. r+1阶子式的行列式=0的特性

可以将矩阵转为化

矩阵的秩，就是矩阵初等变换后化成行阶梯形时的非零行的行数。

1. 方程组的系数矩阵的秩与方程组增广矩阵的秩相等。方程组里的所有方程都是不冲突的，不会出现等式左边都是“x+y”，右边却一个是“1”，一个是“3”的情况，因为这样会得出1=3的错误等式，令方程组无解。
2. 方程组的系数矩阵的秩等于未知数的个数。方程组里的方程，必须有n个是不能相互推出，这个n，便是未知数的个数。像前文举例的“x+y=2”和“2x+2y=4”，便只能属于是一个方程，因为后者可以通过前者乘以2得出。
3. 当方程组的系数矩阵的秩与方程组增广矩阵的秩相等且均小于方程组中未知数个数n的时候，方程组有无穷多解。当所有的方程都不冲突，但存在一个或一个以上的方程是可以由其他方程变换过来的，这就相当于n个未知数，却没有n个方程，自然就是无穷多解了。
4. 当方程组的系数矩阵的秩小于方程组增广矩阵的秩的时候，方程组无解。存在两个或多个方程有冲突，那别说了，直接无解就是了

增广矩阵求解

其计算过程还是通过消元法来解方程组。

克拉默法则

当矩阵A的行列式det(A)!=0时，可使用行列式的解方程- 克拉默法则求解

求多解

可见上述方程组的解，是一个集合，怎么表示这个集合？

基础解系
指在无穷多组解中，找到一组解，且满足：

1. 这组解内的向量线性无关
2. 方程组的任意一个解都可由这组向量线性表示

那么这组解（向量组），就称为基础解系
实际上这和极大线性无关组是一回事

齐次线性方程组 $A\vec{x}=\vec{0}$的基础解系为
$$\vec{a}=(-1,-2,1{)}^T$$
通解为
$$\vec{x}=k_1\ast \vec{a}$$
其中：$k_1$取任意常数

通解就是线性方程组解的具体表达方式

向量组

如果R(A)=m,则表示有解。即得不出上述 $y=-z$ y和z变量的相关性

线性方程组的解的结构

所谓线性方程组的解的结构，就是当线性方程组有无限多个解时，解与解之间的相互关系．

当方程组存在唯一解时，无须讨论解的结构

基础解系给出解空间的一组基 而基的线性组合为通解。所以通解就是 基础解系前面乘于个任意数k

向量空间

定义：所谓封闭，是指集合中任意两个元素作某一运算得到的结果仍属于该集合．

如果向量空间 V 的非空子集合 V1 对于 V 中所定义的加法及乘数两种运算是封闭的，则称 V1 是 V 的子空间．

向量容量的基

• 原来方程组的多解，在空间中其反应的是一个线，面，立方的区域（方程组的维度而决定）。
• 方程的基解，即基向量。

主要参考

《如何理解矩阵的「秩」？》
《线性方程组在什么时候有唯一解/无穷个解/无解？》
《11.2 齐次线性方程组的基础解系和通解》
《线性代数之——向量空间》