空间几何变换与摄像机模型

空间几何变换：
一   1.齐次坐标：由n+1维矢量表示一个n维矢量，用齐次坐标表示的优越性主要有两点，一 提供了用矩阵运算把二维，三维甚至高维空间中的一个点集从一个坐标系变换到另一个坐标系的有效方法。二可以表示无穷远点。
2.射影变换是一个最为广义的线性变换，n维射影空间的射影变换可以用代数表示为py = Tpx,其中p为一比例因子，x与y分别为变换前后空间点的齐次坐标，x=(x1,x2......xn+1)T,y同理，Tp为满秩的（n+1）*（n+1）矩阵，
3.仿射变换，射影中心平面变为无限远时，射影变换就变成了仿射变换。
4.比例变换 是带有一比例因子的欧氏变换
5.欧氏变换是在欧氏空间进行的变换，与比例变换很相似，只是比例因子取1，欧氏变换有6个自由度，其中3个旋转，3个平移。
二 几何变换的不变量 
1.简比： 直线L上的三个点 A,B,C,以A,B为基础点，C为分点，由分点与基础点所确定的两个有向线段只比称为简比。记为 SR（A,B;C）= AC/BC
2.交比：一条直线上四个点中两个简比的比值称为交比。CR（A,B;C,D）= SR（A,B;C）/SR（A,B;D）= AC/BC/(AD/BD)
3.以o点为交点的任意4条直线的交比称为线速交比CR（l1,l2;l3,l4） = sin（l1,l3）/sin（l2,l3）/（sin（l1,l4）/sin（l2,l4））
5.不变量  
    ·同素性和接合性是射影不变换的性质。
    · 保持直线上的点列的交比不变。
   ·保持线束的交比不变。

   ·如果平面内有一线束的四直线被任一直线所截，则截点列的交比和线束交比相等。

·点列交比是射影变换的基本不变量，是射影变换的充分必要条件，且共线四点交比具有如下特性：

     1.CR(A,B;C,D) = CR(C,D;A,B);

     2.CR(A,B;C,D) = CR(B,A;D,C)

     3.CR(A,B;C,D) = 1-CR(A,B;C,D) = 1/CR(B,A;D,C)

     4.CR(A,B;C,D) = 1-CR(A,C;B,D) = 1-CR(D,B;C,A)

仿射变换

  仿射变换除具有以上射影变换不变性外，还有如下特性：
  1.两直线间的平行性是仿射不变量。
2.共线三点的简比是仿射变换的基本不变量。
3.两个三角形的面积之比是仿射不变量。
4.两条封闭曲线所围成的面积之比是仿射不变量。