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摄像机模型，畸变模型及畸变图像的矫正
注1：文中所有图的符号标注并不统一，一切以正文部分公式为准。
l 摄像机模型：
分若干步骤实现：
1) 小孔成像映射：
类似如上的小孔成像模型，重置一下摄像机坐标系位置，得如下小孔成像模型：
上图中，小孔成像模型把空间坐标点（齐次坐标形式，最后多一项记为1）映射为距距摄像机坐标系平面位置为（单位为距离）的新平面上的点，其坐标描述为（齐次坐标形式，单位为距离）。映射关系描述如下：
2) 考虑主点偏移，转化为像素值：
考虑主点偏移，转化为像素坐标值如下：
其中，，单位均为 距离/像素。
3) 考虑像素坐标非矩阵因素：
如上图，考虑像素坐标非矩阵因素后，像素坐标描述如下：
4) 整理如下：
其中，，均为摄像机内参矩阵中常见待标定参数，其单位均为 像素值。另外内参矩阵常用待标定参数包括主点位置。
注意：经常采用如下形式的坐标，记为归一化图像坐标（normalized image coordinates）：
则此时有：
归一化图像坐标的单位为1。其物理意义为：取一距离摄像机坐标系平面的位置为1的新平面（归一化图像平面，mormalized image plane），则表示坐标点在该平面上的映射点坐标。
5) 引入世界坐标系：
考虑世界坐标系与相机坐标系的矩阵变换（平移变换和旋转变换），引入世界坐标系坐标后，有：
其中， 。
6) 最终小孔成像模型如下：
该模型为线性模型。
7) 对于摄像机内参数标定过程：
已知 ，则小孔成像模型变换为：
其中，。
记为单应矩阵，则有：，为常见标定模型。
l 畸变模型成因：
径向畸变：原因是镜头不规整造成的，不能完全把摄像机等效为小孔的等比放大模型。
切向畸变：原因是安装时镜头和感光片不完全平行，引入的非线性成像。
l 关于畸变模型的理解：
我的理解是，小孔成像模型描述了一个线性模型（包括对安装时镜头和感光片不平行部分的描述，内参数K的K(1,2)），去拟合摄像机成像的真实模型。
但各种原因（包括镜头不规整和镜头与感光片不平行的问题）造成了成像的真实模型包括非线性部分，为了充分描述和拟合该非线性部分，引入了畸变模型。
l 畸变模型描述：
1) 畸变模型：
给模型加入的畸变部分全部是加入在归一化图像坐标上的：
(参考http://blog.csdn.net/pinbodexiaozhu/article/details/43374737 )
径向畸变模型如下：
其中畸变系数为，张正有标定法（网上有现成代码）等中有自动标出，采用的是LM非线性优化算法。但无考虑切向畸变。
切向畸变模型如下：
其中畸变系数为，张正有标定法中未标定，同时在Matlab较新版本自带的cameraCalibrator工具箱中有标出。（不知道采用什么优化方法？）
Matlab较新版本自带cameraCalibrator工具箱标定过程如下图所示：
可参考：http://blog.csdn.net/Loser__Wang/article/details/51811347
l 图像畸变校正：
现在的问题是：已标定出摄像机内参数模型、畸变模型（畸变系数），给定一幅畸变图像，如何矫正图像？
已有畸变图像，已知该图像上每一点坐标和像素值，目标是求得一幅去畸变图像，即求得该去畸变图像上的每一点坐标和像素值。常采用做法如下：
构造一个空图像（作为去畸变图像），针对每一点坐标，左乘内参矩阵 得归一化坐标，利用畸变模型得畸变的归一化坐标，再左乘内参矩阵得对应畸变坐标。由于求得的畸变坐标通常不为整数，需要在畸变图像上采用插值方法得到像素值，赋值给。即得到完整去畸变图像。
问题1：不能实现，在畸变图像上选定一特征点，直接反向求取其在去畸变图像上的坐标。需要先利用插值方法获得整幅的去畸变图像，然后再提取特征点。
问题2：对于径向和切向畸变模型，按照什么顺序什么方式叠加？
例：
采用网上找的例子：http://blog.csdn.net/Loser__Wang/article/details/51811347
摄像机内参数为：[445.0538, 0.1921, 327.1490; 0, 447.3691, 244.2735; 0, 0, 1]
径向畸变系数：[k1, k2] = [-0.3203, 0.1177].
切向畸变系数：[p1, p2] = [-0.0055, 0.0014].
假设图像分辨率为：640*480.（根据主点值猜测）
文中给出的待校正图像和矫正后图像，如下：
我在程序中仅考虑径向畸变，和先径向再切向畸变都矫正，得图：
可见，图像是得到了矫正，但显示范围变小了，不全了。原因是，我是截图得到的图片，不是文章采用的原始图片。
另外的问题是，自己的程序耗时较长，openCV现成函数应该有优化。
采用自己的摄像机，对已有图片去参数，结果如下，依次为：原图、仅矫正径向畸变图、均矫正图：