透视摄像机模型

最常用的透视相机模型是假设一个针孔投射系统，图像由来自物体的光线穿过透镜中心（投影中心）的交叉形成，并存在一个焦平面。

记 $P= [X, Y, Z]^T$ 为相机坐标系下一个实物点的物理坐标， $p = [u,v]^T$ 为其投影图像的图像坐标（像素），C为相机的光心，即投影中心。
从3D世界到2D图像的映射由透视投影方程给出：

λ ⎡ ⎣ ⎢ u v 1 ⎤ ⎦ ⎥ = K P = ⎡ ⎣ ⎢ α u 00 0 α v 0 u 0 v 0 1 ⎤ ⎦ ⎥ ⎡ ⎣ ⎢ X Y Z ⎤ ⎦ ⎥ (1)

$\lambda\left[\begin{matrix}u\\v\\1\\\end{matrix}\right]=KP=\left[\begin{matrix}\alpha_u&0&u_0\\0&\alpha_v&v_0\\0&0&1\\\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}X\\Y\\Z\\\end{matrix}\right] \tag 1$

$X,Y,Z:$ 点在相机坐标系下的物理坐标
$u,v:$ 点的投影在图像中的图像坐标（像素）
$u_0, v_0:$ 投影中心在图像中的图像坐标（像素）
$\alpha_u,\alpha_v:$ 焦距，在此公式中包含物理坐标对图像坐标的转换，单位为像素
$\lambda:$ 深度因子，从公式中易看出 $\lambda=z$ ，即物点距光心的距离

对此公式的理解包含两步：1、3D坐标与2D坐标的转换，2、物理坐标对图像坐标的转换

1、3D坐标转2D坐标
如图，设物理点 $Q(X,Y,Z)$ 在投影图像上的坐标为 $q(x,y)$ ， $f$ 为物理焦距

不考虑长度与像素的转换以及投射中心的偏移，则有

x = f (X Z) (2)

$x= f\left(\frac{X}{Z}\right) \tag 2$

y = f (Y Z) (3)

$y= f\left(\frac{Y}{Z}\right) \tag 3$

2、物理坐标对图像坐标的转换
如图， $(u,v)$ 为图像像素坐标（行数和列数）， $(u_0,v_0)$ 为图像主点的图像坐标，设 $(x,y)$ 为以图像主点为原点的以物理单位表示的坐标。

则有

u = x d x + u 0 (4)

$u = \frac{x}{dx} + u_0 \tag 4$

v = y d y + v 0 (5)

$v = \frac{y}{dy} + v_0 \tag 5$
其中

dx,dy $dx,dy$ 分别表示每个像素在x轴和y轴上的物理尺寸，单位为毫米/像素。
写成矩阵形式为

⎡ ⎣ ⎢ u v 1 ⎤ ⎦ ⎥ = ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ 1 d x 00 0 1 d y 0 u 0 v 0 1 ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎡ ⎣ ⎢ x y 1 ⎤ ⎦ ⎥ (6)

$\left[ \begin{matrix}u\\v \\1\\\end{matrix}\right]= \left[\begin{matrix}\frac{1}{dx}&0&u_0\\0&\frac{1}{dy}&v_0\\0&0&1\\\end{matrix}\right] \left[\begin{matrix}x\\y\\1\end{matrix}\right]\tag 6$
其逆关系表示为

⎡ ⎣ ⎢ x y 1 ⎤ ⎦ ⎥ = ⎡ ⎣ ⎢ d x 00 0 d y 0 - u 0 d x - v 0 d y 1 ⎤ ⎦ ⎥ ⎡ ⎣ ⎢ u v 1 ⎤ ⎦ ⎥ (7)

$\left[ \begin{matrix}x\\y \\1\\\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}dx&0&-u_0dx\\0&dy&-v_0dy\\0&0&1\\\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}u\\v\\1\end{matrix}\right]\tag 7$

综上，从 $(1)$ 中得到

u = α u z X + u 0 (8)

$u=\frac{\alpha_u}{z}X+u_0\tag 8$

v = α v z Y + v 0 (9)

$v=\frac{\alpha_v}{z}Y+v_0\tag 9$
结合

(2)(3)(4)(5)(8)(9) $(2)(3)(4)(5)(8)(9)$ ，可得

α u = f d x

$\alpha_u = \frac{f}{dx}$

α v = f d y

$\alpha_v=\frac{f}{dy}$
此为对

(1) $(1)$ 中

αu $\alpha_u$ 和

αv $\alpha_v$ 的理解

参考文献：
1. D. Scaramuzza and F. Fraundorfer, “Visual Odometry, Part I: The First 30 Years and Fundamentals [Tutorial],” IEEE RAM, 2011.
2. http://www.360doc.com/content/14/0410/14/10724725_367760675.shtml

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