P1006 [NOIP2008 提高组] 传纸条

题目描述

小渊和小轩是好朋友也是同班同学，他们在一起总有谈不完的话题。一次素质拓展活动中，班上同学安排坐成一个 $m$ 行 $n$ 列的矩阵，而小渊和小轩被安排在矩阵对角线的两端，因此，他们就无法直接交谈了。幸运的是，他们可以通过传纸条来进行交流。纸条要经由许多同学传到对方手里，小渊坐在矩阵的左上角，坐标 $(1,1)$，小轩坐在矩阵的右下角，坐标 $(m,n)$。从小渊传到小轩的纸条只可以向下或者向右传递，从小轩传给小渊的纸条只可以向上或者向左传递。

在活动进行中，小渊希望给小轩传递一张纸条，同时希望小轩给他回复。班里每个同学都可以帮他们传递，但只会帮他们一次，也就是说如果此人在小渊递给小轩纸条的时候帮忙，那么在小轩递给小渊的时候就不会再帮忙。反之亦然。

还有一件事情需要注意，全班每个同学愿意帮忙的好感度有高有低（注意：小渊和小轩的好心程度没有定义，输入时用 $0$ 表示），可以用一个 $[0,100]$ 内的自然数来表示，数越大表示越好心。小渊和小轩希望尽可能找好心程度高的同学来帮忙传纸条，即找到来回两条传递路径，使得这两条路径上同学的好心程度之和最大。现在，请你帮助小渊和小轩找到这样的两条路径。

输入格式

第一行有两个用空格隔开的整数 $m$ 和 $n$，表示班里有 $m$ 行 $n$ 列。

接下来的 $m$ 行是一个 $m\times n$ 的矩阵，矩阵中第 $i$ 行 $j$ 列的整数表示坐在第 $i$ 行 $j$ 列的学生的好心程度。每行的 $n$ 个整数之间用空格隔开。

输出格式

输出文件共一行一个整数，表示来回两条路上参与传递纸条的学生的好心程度之和的最大值。

样例 #1

样例输入 #1

3 3
0 3 9
2 8 5
5 7 0

样例输出 #1

34

提示

【数据范围】

对于 $30\%$ 的数据，满足 $1\le m,n\le 10$。
对于 $100\%$ 的数据，满足 $1\le m,n\le 50$。

【题目来源】

NOIP 2008 提高组第三题。

思路

四维dp

这题就是说要找到两条互不重合的两条最大线路。虽然说一个是从左上角出发，一个是从右下角出发，不过其实两个都从左上角出发就行了，这样比较好思考，也比较好写
一眼看过去，dp！！！最好想到的就是四维dp：
$dp[i][j][u][v]$表示第一条线路到达了$（i,j）$，第二条线路到达了$(u,v)$
当然，两条线路不能走到同一个点，所以在循环$i,j,u,v$时，$v$要从$j+1$开始，
或者判断当两个点重合时，$dp[i][j][u][v]$减去一个人的好心程度

四维的状态转移方程比较好想：

 f[i][j][k][l]=max( f[i][j-1][k-1][l] , max(f[i-1][j][k][l-1] , max(f[i][j-1][k][l-1] , f[i-1][j][k-1][l]) ) )+a[i][j]+a[k][l]

a是输入的好心程度！！！

怎么样？很简单吧？
不过当数据再大一点的时候就不能用四维的了，这个$1\le m,n\le 50$着实有点水，所以我们要用三维的，当然三维的也很好理解哦。

三维dp

我们可以发现：两条线路走的总步数是一样的（即$i+j$等于$u+v$），所以我们可以只枚举两条线路的纵坐标或者横坐标就可以了。（我枚举的是横坐标）

那么我们现在的$dp[k][i][j]$就表示一共走了k步，第一条线路在第i列上，第二条线路在第j列上时的最大好心程度
注意！！！dp数组的第一维要开到$n+m$以上，因为这个棋矩阵最多可以走到大概$n+m$步
那么我们的状态转移方程为：

dp[k][i][j]=max_(dp[k-1][i-1][j-1],dp[k-1][i][j],dp[k-1][i-1][j],dp[k-1][i][j-1])+a[i][k-i]+a[j][k-j];

max_ 是一个函数，就是求着四个数的最大值不过你也可以写三个max
其中：
$dp[k-1][i-1][j-1]$表示：在上一步时两条线路都向下移动；
$dp[k-1][i][j]$表示：在上一步时两条线路都向右移动；
$dp[k-1][i-1][j]$表示：在上一步时一条向下，一条向右；
$dp[k-1][i][j-1]$表示：在上一步时一条向右，一条向下；
$a$数组为输入的好心程度

差不多就这样，是不是很简单？看看代码吧：

含有注释，放心食用：

AC四维代码：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define N 55
using namespace std;
int a[N][N],f[N][N][N][N];
void work(int i,int j,int k,int l)
{
    
    
	int Max=0;
	Max=max(Max,f[i-1][j][k-1][l]);//这里可以合并，看个人喜好 
	Max=max(Max,f[i-1][j][k][l-1]);
	Max=max(Max,f[i][j-1][k-1][l]);
	Max=max(Max,f[i][j-1][k][l-1]);
	f[i][j][k][l]=Max+a[i][j];
	if(i!=k||j!=l)//去重，因为题目不允许走到同一个点 
	    f[i][j][k][l]+=a[k][l];
}
int main()
{
    
    
	int m,n,i,j,k,l;
	scanf("%d%d",&m,&n);
	for(i=1;i<=m;++i)
	    for(j=1;j<=n;++j)
	        scanf("%d",&a[i][j]);
	for(i=1;i<=m;++i)
	    for(j=1;j<=n;++j)
	        for(u=1;u<=m;++u)
	            for(v=1;v<=n;++v)
	                work(i,j,u,v);
	printf("%d",f[m][n][m][n]);
	return 0;
}

AC三维代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m,a[101][101],dp[201][101][101];
int max_(int a,int b,int c,int d){
    
    
	return max(a,max(b,max(c,d)));//求最大的 
}
int main()
{
    
    
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n;i++){
    
    
		for(int j=1;j<=m;j++){
    
    
			cin>>a[i][j];
		}
	}
	for(int k=2;k<=n+m;k++){
    
    //枚举步数 
		for(int i=1;i<=n;i++){
    
    //枚举横坐标 
			for(int j=1;j<=n;j++){
    
    //枚举横坐标 
				int l1=k-i,l2=k-j;
				if(l1<1||l1>m||l2<1||l2>m) continue;
				int t=a[i][l1];
				if(i!=j) t+=a[j][l2];//如果没有重复就加上 
				dp[k][i][j]=max_(dp[k-1][i-1][j-1],dp[k-1][i][j],dp[k-1][i-1][j],dp[k-1][i][j-1]);//求最大的 （函数） 
				dp[k][i][j]+=t;//加上当前位置的好心程度 
			}
		}
	}
	cout<<dp[n+m][n][n];//输出 
	return 0;
}