洛谷P1006 [NOIP2008 提高组] 传纸条

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题目传送门

注意了：题面有坑！

先输入m，后输入n！

看到n的范围……50！O（n^4）可以过！
我们用四层循环来分别枚举来回所走的两个点。
详细讲解见代码。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int dp[55][55][55][55],a[55][55],n,m;
int main()
{
	scanf("%d%d",&m,&n);
	for(int i=1;i<=m;i++)
		for(int j=1;j<=n;j++)
			scanf("%d",&a[i][j]);
	for(int i=1;i<=m;i++)
		for(int j=1;j<=n;j++)
			for(int k=1;k<=m;k++)
				for(int t=1;t<=n;t++)
				{
					int t1=max(dp[i-1][j][k][t-1],dp[i][j-1][k-1][t]);
					int t2=max(dp[i-1][j][k-1][t],dp[i][j-1][k][t-1]);
					dp[i][j][k][t]=max(t1,t2)+a[i][j]+a[k][t];
					if(i==k&&j==t)//同一位置只加一次
						dp[i][j][k][t]-=a[i][j];
				}
	printf("%d\n",dp[m][n][m][n]);
	return 0;
}

当然这肯定不是正解也能AC
正解的复杂度是O（（n+m）*n^2）≈ O(n^3)
解法如下：
我们可以发现，从左上角到右下角所走不数的最大值是n+m-1。
证明：

我们要从A到B，假设黑色是路径，那么路径我们可以转化成：

方法是平移线段，就像小学求楼梯周长一样。
那么我们就可以按步数转移。
代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int oo=1e9;
const int M=105;
int g[55][55],dp[M][55][55];
int Max(int a,int b,int c,int d) {return max(a,max(b,max(c,d)));}//正常max函数只能比较两个值只能比较两个值，所以我们要自己写一个max函数
int main()
{
	int n,m;
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=m;j++)
			scanf("%d",&g[i][j]);
	dp[1][1][1]=g[1][1];
	for(int i=2;i<=n+m-1;i++)
		for(int x1=1;x1<=n;x1++)//第一个点枚举横坐标
			{
				if(i+1-x1>=1&&i+1-x1<=m)
				{
					for(int x2=1;x2<=n;x2++)//枚举第二个点横坐标
					{
						if(i+1-x2>=1&&i+1-x2<=m)
							dp[i][x1][x2]=Max(dp[i-1][x1][x2],dp[i-1][x1-1][x2],dp[i-1][x1][x2-1],dp[i-1][x1-1][x2-1]);
							if(x1==x2)//如果同一位置就加一次
								dp[i][x1][x2]+=g[x1][i+1-x1];
							else
								dp[i][x1][x2]+=g[x1][i+1-x1]+g[x2][i+1-x2];
					}
				}
			}
	printf("%d",dp[n+m-1][n][n]);
	return 0;
}