洛谷p1006传纸条——动态规划

题目描述

小渊和小轩是好朋友也是同班同学，他们在一起总有谈不完的话题。一次素质拓展活动中，班上同学安排做成一个 mm 行 nn 列的矩阵，而小渊和小轩被安排在矩阵对角线的两端，因此，他们就无法直接交谈了。幸运的是，他们可以通过传纸条来进行交流。纸条要经由许多同学传到对方手里，小渊坐在矩阵的左上角，坐标 (1,1(1,1 )，小轩坐在矩阵的右下角，坐标 (m,n)(m,n) 。从小渊传到小轩的纸条只可以向下或者向右传递，从小轩传给小渊的纸条只可以向上或者向左传递。

在活动进行中，小渊希望给小轩传递一张纸条，同时希望小轩给他回复。班里每个同学都可以帮他们传递，但只会帮他们一次，也就是说如果此人在小渊递给小轩纸条的时候帮忙，那么在小轩递给小渊的时候就不会再帮忙。反之亦然。

还有一件事情需要注意，全班每个同学愿意帮忙的好感度有高有低（注意：小渊和小轩的好心程度没有定义，输入时用 00表示），可以用一个 0−1000−100 的自然数来表示，数越大表示越好心。小渊和小轩希望尽可能找好心程度高的同学来帮忙传纸条，即找到来回两条传递路径，使得这 22 条路径上同学的好心程度之和最大。现在，请你帮助小渊和小轩找到这样的 22 条路径。

输入输出格式

输入格式：

输入文件，第一行有 22 个用空格隔开的整数 mm 和 nn ，表示班里有 mm 行 nn 列。

接下来的 mm 行是一个 m×nm×n 的矩阵，矩阵中第 ii 行 jj 列的整数表示坐在第 ii 行 jj 列的学生的好心程度。每行的 nn 个整数之间用空格隔开。

输出格式：

输出文件共一行，包含一个整数，表示来回 22 条路上参与传递纸条的学生的好心程度之和的最大值。

输入输出样例

输入样例：

输出样例：

法1:四维数组,复杂度： $O(n^2m^2)$

#include <iostream>
#include <map>
#include <iterator>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <queue>
#include <list>
#include <cmath>
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>
#include <string>
#include <sstream>
#define maxn 55
typedef long long ll;
using namespace std;
int dp[maxn][maxn][maxn][maxn];//dp[i][j][l][m]表示当a走到a[i][j],b走到a[l][m]时好心程度之和的最大值
int a[maxn][maxn];
int n,m;
int find_max(int a,int b,int c,int d){
    if(b>a)
        a = b;
    if(c>a)
        a = c;
    if(d>a)
        a = d;
    return a;
}

void dfs(){
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=m;j++)
            for(int k=1;k<=n;k++)
                for(int l=1;l<=m;l++){
                    if(i==k && j==l)
                        dp[i][j][k][l] = find_max(dp[i-1][j][k-1][l],dp[i-1][j][k][l-1],dp[i][j-1][k][l-1],dp[i][j-1][k-1][l])+a[i][j];
                    else
                        dp[i][j][k][l] = find_max(dp[i-1][j][k-1][l],dp[i-1][j][k][l-1],dp[i][j-1][k][l-1],dp[i][j-1][k-1][l])+a[i][j]+a[k][l];
                }
}

int main(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=m;j++)
            scanf("%d",&a[i][j]);
    dfs();
    cout<<dp[n][m-1][n-1][m]<<endl;
    return 0;
}

法2:三维数组

#include <iostream>
#include <map>
#include <iterator>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <queue>
#include <list>
#include <cmath>
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>
#include <string>
#include <sstream>
//#include "Header.h"
#define maxn 55
typedef long long ll;
using namespace std;
int dp[2*maxn][maxn][maxn];//i是横纵坐标和（a,b相等），j是a的横坐标，k是b的横坐标
int n,m;
int a[maxn][maxn];

int find_max(int a,int b,int c,int d){
    if(b>a)
        a = b;
    if(c>a)
        a = c;
    if(d>a)
        a = d;
    return a;
}

void dfs(){
    for(int i=2;i<=n+m-1;i++)
        for(int j=1;j<=n;j++)
            for(int k=1;k<=n;k++){
                if(i-j<0 || i-k<0)
                    break;
                if(j==k)
                    dp[i][j][k] = find_max(dp[i-1][j][k],dp[i-1][j][k-1],dp[i-1][j-1][k-1],dp[i-1][j-1][k])+a[j][i-j+1];
                else
                    dp[i][j][k] = find_max(dp[i-1][j][k],dp[i-1][j][k-1],dp[i-1][j-1][k-1],dp[i-1][j-1][k])+a[j][i-j+1]+a[k][i-k+1];
//                if (k==j) //判断重合路径法2
//                    dp[i][j][k]-=a[j][i-j+1];
            }
}


int main(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=m;j++)
            scanf("%d",&a[i][j]);
    dfs();
    cout<<dp[n+m-1][n][n]<<endl;
    return 0;
}