前言
最近在luogu刷题，深受背包问题的折磨。作为一个刚开始学习动态规划的蒟蒻，我只能解决简单的背包问题。为了加深本蒟蒻对该题型的理解，我决定将自己目前对01背包的知识整理起来。（有关代码将会使用python来展示）
什么是背包问题
请看以下问题：
小明有一个能装500克物品的背包，现在在他的面前有5个物品，它们的重量和价值如下：
物品1：130g 50元
物品2：200g 75元
物品3：400g 200元
物品4：800g 1000元
物品5：50g 50元
请问小明要如何装入面前的物品，使得背包里的东西价值最大呢？
以上就是一个01背包问题，一般来讲，背包问题可以描述为：给定一组物品，每种物品都有自己的重量和价格，在限定的总重量内，我们如何选择，才能使得物品的总价格最高。当然背包问题的题干里不一定会有“背包”二字，也不一定有所谓“重量”“价格”，实际做题时，要审准题目，找出隐含的条件。
01背包问题
这是一道经典的01背包问题，摘自洛谷P1048 采药：
01背包问题的特点就是，每个物品只有拿或不拿两种情况。以《采药》为例，给出来的每株药，要么被辰辰采了，要么没采，不存在采了两遍或采了三四遍的情况。
解题方法
接下来，我将以一个简单的例子说明01背包的解题方法，然后我们就可以攻克《采药》了：
为了让条件尽量简单，我们的小明拿出了一个仅能装5g物品的迷你背包，现在他要装这些物品：
物品1：2g 3元；物品2：3g 2元；物品3：3g 5元；物品4：4g 6元；物品5：1g 1元
接下来，让我们假设背包的容量是可以变的，但是不能超过5g
现在我们装入物品1，当背包容量大小在0g到5g之间变化时，能够达到的最大价值可以用以下表格来呈现
好了，接下来我们在上表的基础上，装入物品2（3g 2元）；
显然，当背包容量为0，1，2时，无法装下物品2，因此这3个格子能达到的最大价值和上一行一样：
于是我们得到了第一条规则：当背包容量不足以装下现在正在考虑的物品时，当前格子的值和上一行相同
那么当背包容量为3，4，5时怎么办呢；此时将要面临一个抉择：究竟要不要放入物品2。一个很自然的想法就是：如果放入物品2比不放入所能达到的价值更大，那就放，否则就不放。以背包容量为4时作例子，如果要放，那么我们首先要把3g的空间省出来，我们来看看省完3g之后背包里还剩多少价值
怎么看？4g-3g=1g，上一行对应1g的格子就是省完3g后剩余的价值（红圈），把这个值加上物品2的价值，即可得到情况A：放入物品2，此种情况达到的价值为2元
但是，放入物品2不一定就是好的，情况B：不放入物品2能得到更大的价值，那么不放入物品2达到的价值在哪看，显然就是上一行对应的值，可以看到不放入物品2得到的价值为3元
于是我们得到了第二条规则：当背包容量足以放入现在正在考虑的物品时，对比放与不放两种情况，取两者之中较大的一个
利用这两条规则我们可以补充完全上表：
接下来的物品3、4、5也采取同样的操作，可以得到如下表格（建议初次接触背包问题的同学在纸上模拟一下这个表生成的过程）：
可以看到，右下角的值就是小明所能获得的最大价值，也就是8元。以这个例子为基础，我们就能写出《采药》的题解。
例题《采药》的解法
为了解决《采药》，我们可以像上面的例子那样，画一个表格。但是怎么用python代码来表示这个表格呢？一种简单易行的方案是构造一个2维数组 dp[i][j] 来表示，其中 i 对应物品编号，j 对应背包容量。例如上表就可以写成这样一个二维数组：
dp = [[0,0,3,3,3,3],
[0,0,3,3,3,5],
[0,0,3,5,5,8],
[0,0,3,5,6,8],
[0,1,3,5,6,8]]让我们回看《采药》的题干：
看完题目，先把数据的输入解决了，因为每株草药都有“花费时间”和“价值”两个属性，我们用列表cost记录花费时间，用列表value记录价值
T, M = map(int,input().split())
cost = []
value = []
for i in range(M):
a, b = map(int,input().split())
cost.append(a)
value.append(b)分析题目，发现这是一个01背包问题，其中T（总共能用来采药的时间）可以看作背包的最大容量，M（草药数目）可以看作物品数目，每株药草的花费时间可以看作该物品的“重量”。于是我们可以构造一个大小为 (M + 1) * (T + 1) 的二维数组：
dp = []
for i in range(M + 1):
dp.append([0] * (T + 1))在dp的第0行，因为没有编号为0的物品，所以我们默认有一个物品0：花费时间0 价值0，更改前面的cost和value即可。此时，用 cost[i] 和 value[i] 即可取得编号为 i 的草药的属性
#将前面的对应代码更改成这样:
cost = [0]
value = [0]从dp的第一行开始，按照先前推出的规则一和规则二，填充每个格子的值
for i in range(1,len(dp)):
for j in range(len(dp[i])):
if cost[i] < j:
dp[i][j] = dp[i-1][j]
#规则一:当背包容量不足以装下现在正在考虑的物品时，当前格子的值和上一行相同
else:
dp[i][j] = max(dp[i-1][j-cost[i]] + value[i], dp[i-1][j])
#规则二:当背包容量足以放入现在正在考虑的物品时，对比放与不放两种情况，取两者之中较大的一个最后输出 dp[-1][-1] （表格右下角的值）即可
print(dp[-1][-1])算法优化
常数优化
在解决01背包问题的过程中，我们发现，有的物品的重量已经超过了背包的最大容量，例如《采药》给出的输入样例：
显然花费时间71已经超过了规定的采药时间70，考虑这株草药是否采摘是没意义的。于是我们可以在输入数据时加入对数据是否有意义的判断，放弃记录没有意义的数据，这就是常数优化；代码如下：
T, M = map(int,input().split())
cost = [0]
value = [0]
for i in range(M):
a, b = map(int,input().split())
if a <= T:
cost.append(a)
value.append(b)
dp = []
for i in range(len(cost)):
dp.append([0] * (T + 1))
for i in range(1,len(dp)):
for j in range(len(dp[i])):
if cost[i] > j:
dp[i][j] = dp[i-1][j]
else:
dp[i][j] = max(dp[i-1][j-cost[i]] + value[i], dp[i-1][j])
print(dp[-1][-1])滚动数组
当背包容量比较大，物品数目比较多时，用以上方法我们将会构造一个非常大的二维数组，占用非常多的空间。其实观察整个表格的生成过程，每一个格子的数值都只与上一行的值有关，也就是说，在考虑物品3时，关于物品1的那一行其实就可以删掉了，在考虑物品4时，关于物品2的一行以后就不会再用到了。
基于这个思想，我们可以构造一个一维数组 dp[i] ，将其中的值不断更新，这种数组被称作滚动数组；代码如下：
T, M = map(int,input().split())
cost = [0]
value = [0]
for i in range(M):
a, b = map(int,input().split())
if a <= T:
cost.append(a)
value.append(b)
dp = [0] * (T + 1)
dp_ = [0] * (T + 1)
for i in range(1,len(cost)):
for j in range(len(dp)):
if cost[i] > j:
dp_[j] = dp[j]
else:
dp_[j] = max(dp[j-cost[i]] + value[i], dp[j])
dp = dp_.copy()
print(dp[-1][-1])总结
《采药》这个题例只展示了最基本的01背包的命题形式，在实际做题中，会遇到很多变式。要在这道题的基础上举一反三，才能做到“做一道题，会一类题”。