01背包问题总结

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在n个物品中挑选若干物品装入背包，最多能装多满？假设背包的大小为m，每个物品的大小为A[i]

样例

如果有4个物品[2, 3, 5, 7]

如果背包的大小为11，可以选择[2, 3, 5]装入背包，最多可以装满10的空间。

如果背包的大小为12，可以选择[2, 3, 7]装入背包，最多可以装满12的空间。

函数需要返回最多能装满的空间大小。

思路：动态规划做法，找出状态转移方程，在 本题中，我用dp[i][j]表示  背包剩余容量为j时，考虑前1到j件物品的最优解（即容量为j时，前1到i件物品中能拿的最大重量）

此时有两种选择，当第i件物品的重量小于等于j时，则有拿和不拿两种选择，这时最优解为：

if (A[i-1] <= j) {
       dp[i][j]=Math.max(dp[i-1][j-A[i-1]]+A[i-1],dp[i-1][j]);
 }

当第i件物品重量大于j时，则第i件物品肯定拿不了，这时

dp[i][j]=dp[i-1][j];

到这里状态转移方程已经找出来了。总的代码如下：

public class Solution {
    //dp[i][j]数组表示前i件物品在背包容量为j时能拿的最大容量
    int [][]dp;
    public int backPack(int m, int[] A) {
        //c表示物品总数量
        int c=A.length;
        dp=new int[c+1][m+1];
        for(int i=1;i<=c;i++){
            for(int j=1;j<=m;j++){
                if(A[i-1]<=j){
                    dp[i][j]=Math.max(dp[i-1][j-A[i-1]]+A[i-1],dp[i-1][j]);
                }else{
                    dp[i][j]=dp[i-1][j];
                }
            }
        }
        return dp[c][m];
    }
}

这样dp[c][m]即为当背包容量为m时c件物品能拿的最大容量，即题目所求了。

未完待续。。。。