背包问题—01背包、完全背包

01背包问题

题目

有m件物品和一个容量为V 的背包。放入第i 件物品占用的体积是Vi，得到的价值是Wi。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。

思路

这是最基础的背包问题，特点是：每种物品仅有一件，可以选择放或不放。所以对于第i件物品，可以转化成与前i-1个物品相关的两个子问题：

如果放入第i个物品，那么当前最大的价值f(i,V)就等于将前i-1个物品放入容量为(V-Vi)的背包中能得到的最大价值f(i-1, V-Vi) 与第i个物品的价值Wi 的和。
如果不放入第i个物品，那么f(i, V)就等于将前i-1个物品放入容量为V的背包能得到的最大价值f(i-1, V)

所以递推公式为： F(i, V) = max(F(i-1, V), F(i-1, V-Vi) + Wi)

有了递推公式就可以使用动态规划来对该问题求解了。

    int backPack1(int m, vector<int> &V, vector<int> &W) {
        int n = V.size();
        vector<int> dp(m+1, 0);

        for(int i = 0; i < n; i++)
            for(int j = m; j >= 0; j--){  
                        //这里一定要逆序，正序会将之后要用到的数据提前覆盖掉
                if(j - V[i] < 0)
                    continue;
                dp[j] = max(dp[j - V[i]] + W[i], dp[j]);
            }
        return dp[m];
    }

完全背包问题

题目

完全背包和01背包的不同在于：01背包中一个物品只有一件，你只能选择拿或不拿，而在完全背包中，一个物品有无数件，只要不超过背包容量，你可以拿任意件。

思路

在01背包的基础上我们都能得到如下的递推公式：
F(i, V) = max(F(i-1, V - k*Vi) + k*Wi | 0 <= k*Vi <= V)
该公式可进一步推导为如下形式：
F(i, V) = max(F(i-1, V), F(i, V-Vi) + Wi)

优化

完全背包问题有一个很简单有效的优化，是这样的：若两件物品i、j 满足 Vi < Vj 且 Wi ≥ Wj，则将可以将物品j 直接去掉，不用考虑。这个优化的正确性是显然的：任何情况下都可将价值小费用高的j 换成物美价廉的i，得到的方案至少不会更差。

下面给出代码

//优化数据
void majorizing(int m, vector<int> &v, vector<int> &w)
{
    int n = v.size();
    vector<int>::iterator it;

    for(int i = 0; i < n; i++){
        if(v[i] > m){
            v[i] = -1;
            w[i] = -1;
            continue;
        }
        for(int j = 0; j < n; j++)
            if(w[i] >= w[j] && v[i] < v[j]) {
                v[j] = -1;
                w[j] = -1;
            }
    }

    for(it = v.begin(); it != v.end(); it++)
        if(*it == -1){
            v.erase(it);
            it--;
        }
    for(it = w.begin(); it != w.end(); it++)
        if(*it == -1){
            w.erase(it);
            it--;
        }
}
//动态规划求解
int backpack2(int m, vector<int> &v, vector<int> &w)
{
    vector<int> dp(m+1, 0);

    majorizing(m, v, w);

    for(int i = 0; i < v.size(); i++)
        for(int j = 0; j <= m; j++){
            if(j >= v[i])
                dp[j] = std::max(dp[j], dp[j-v[i]] + w[i]);
        }
    return dp[m];
}