总结-01背包问题

0-1 背包问题：

给定 n 种物品和一个容量为 C 的背包，物品 i 的重量是 wi，其价值为 vi 。

问：应该如何选择装入背包的物品，使得装入背包中的物品的总价值最大？

特点：面对每个物品，我们只有选择拿取或者不拿两种选择，不能选择装入某物品的一部分，也不能装入同一物品多次。

解决办法：声明一个大小为 m[n][c] 的二维数组，m[ i ][ j ] 表示在面对第 i 件物品，且背包容量为 j 时所能获得的最大价值 ，那么我们可以很容易分析得出 m[i][j] 的计算方法，

（1）. j < w[i] 的情况，这时候背包容量不足以放下第 i 件物品，只能选择不拿

m[ i ][ j ] = m[ i-1 ][ j ]

（2）. j>=w[i] 的情况，这时背包容量可以放下第 i 件物品，我们就要考虑拿这件物品是否能获取更大的价值。

如果拿取，m[ i ][ j ]=m[ i-1 ][ j-w[ i ] ] + v[ i ]。这里的m[ i-1 ][ j-w[ i ] ]指的就是考虑了i-1件物品，背包容量为j-w[i]时的最大价值，也是相当于为第i件物品腾出了w[i]的空间。

如果不拿，m[ i ][ j ] = m[ i-1 ][ j ] , 同（1）

究竟是拿还是不拿，自然是比较这两种情况那种价值最大。

扫描二维码关注公众号，回复： 4537620 查看本文章

由此可以得到状态转移方程：

if(j>=w[i])
      m[i][j]=max(m[i-1][j],m[i-1][j-w[i]]+v[i]);
else
      m[i][j]=m[i-1][j];

例：0-1背包问题。在使用动态规划算法求解0-1背包问题时，使用二维数组m[i][j]存储背包剩余容量为j，可选物品为i、i+1、……、n时0-1背包问题的最优值。绘制
价值数组v = {8, 10, 6, 3, 7, 2}，

重量数组w = {4, 6, 2, 2, 5, 1}，

背包容量C = 12时对应的m[i][j]数组。

0   1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11   12
1   0   0   0   8   8   8   8   8   8   8   8   8
2   0   0   0   8   8   10   10   10   10   18   18   18
3   0   6   6   8   8   14   14   16   16   18   18   24
4   0   6   6   9   9   14   14   17   17   19   19   24
5   0   6   6   9   9   14   14   17   17   19   21   24
6   2   6   8   9   11   14   16   17   19   19   21   24
(第一行和第一列为序号，其数值为0)
如m[2][6],在面对第二件物品，背包容量为6时我们可以选择不拿，那么获得价值仅为第一件物品的价值8，如果拿，就要把第一件物品拿出来，放第二件物品，价值10，那我们当然是选择拿。m[2][6]=m[1][0]+10=0+10=10;依次类推，得到m[6][12]就是考虑所有物品，背包容量为C时的最大价值。

#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
int main()
{
	int n,c;//n种物品，c为容量 
	int dp[105][105];//表示再面对第i件物品，背包容量为j时所获得的最大价值 
	int w[105],v[105];
	cin>>n>>c;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	  cin>>w[i]>>v[i];
	for(int i=1;i<=n;i++)
	   for(int j=1;j<=c;j++)
	   {
	   	if(j>=w[i])
	   	    dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-w[i]]+v[i]);
	   	else
	   	    dp[i][j]=dp[i-1][j];
		} 
	cout<<dp[n][c]<<endl;
	return 0;
}

作者：青龙指引你
来源：CSDN
原文：https://blog.csdn.net/xp731574722/article/details/70766804
版权声明：本文为博主原创文章，转载请附上博文链接！

猜你喜欢