动态规划入门——背包问题（01 完全 多重）

一 背包问题

（1）01 背包 ：

给定 n 种物品和一个容量为 C 的背包，物品 i 的重量是 wi，其价值为 vi 。

问：应该如何选择装入背包的物品，使得装入背包中的物品的总价值最大？

分析：对于每个物品，我们都有两种选择，取和不取。

我们可以定义一个二维数组dp[i][j]，表示有i件物品，背包容量为j时获得的最大价值。

对于dp[i][j]，当w[i]>j时,dp[i][j] = dp[i-1][j];否者，dp[i][j] = max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-w[i]]+v[i])；再放与不放中选着价值        最大的。得状态转移方程：

       

if (背包体积j小于物品i的体积)
    f[i][j] = f[i-1][j] //背包装不下第i个物体，目前只能靠前i-1个物体装包
else
    f[i][j] = max(f[i-1][j], f[i-1][j-Wi] + Vi)

我们可以把这个过程看成填一个表

例如：

价值数组v = {8, 10, 6, 3, 7, 2}，

重量数组w = {4, 6, 2, 2, 5, 1}，

背包容量C = 12时对应的dp[i][j]数组。

0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
1	0	0	0	8	8	8	8	8	8	8	8	8
2	0	0	0	8	8	10	10	10	10	18	18	18
3	0	6	6	8	8	14	14	16	16	18	18	24
4	0	6	6	9	9	14	14	17	17	19	19	24
5	0	6	6	9	9	14	14	17	17	19	21	24
6	2	6	8	9	11	14	16	17	19	19	21	24

(第一行和第一列为序号，其数值为0)
如m[2][6],在面对第二件物品，背包容量为6时我们可以选择不拿，那么获得价值仅为第一件物品的价值8，如果拿，就要把第一件物品拿出来，放第二件物品，价值10，那我们当然是选择拿。m[2][6]=m[1][0]+10=0+10=10;依次类推，得到m[6][12]就是考虑所有物品，背包容量为C时的最大价值。

伪代码：

     int w[maxn] = {0,1,2,3,4,5...};
     int v[maxn] = {0,5,4,3,2,1...};
     memset(dp,0,sizeof(dp));
     for(int i = 1 ; i <= n ;i ++ ){
        for(int j = 1 ; j < = sum_w ; j ++ ){
            if(j<w[i]) dp[i][j] = dp[i-1][j];
            else dp[i][j] = max(dp[i-1][j],dp[i-1][dp[i-1][j-w[i]]]+v[i]);
        } 
     }
     cout<<dp[n][sum_w]<<endl;

当数据量大时，这种二维数组可能就不适用了，我们可以采用滚动数组的方法。

先给出代码：

    int w[maxn] = {0,1,2,3,4,5...};
    int v[maxn] = {0,5,4,3,2,1...};
    memset(dp,0,sizeof(dp));  
    for (int i = 1;i <= n;i++) 
    {  
        for (int j = sum_w;j >= wi;j--)  
        {  
            dp[j] = max(dp[j],dp[j - w[i]] + v[i]);  
        }  
    }  
    cout<<dp[sum_w]<<endl; 

代码分析：

dp数组是从上到下，从右到左计算的，再计算（i，j）的时候，dp[j]里保存的就是dp(i-1,j)的值，而dp[j-w]里保存的是

dp（i-1，j-w）而不是dp(i,j-w)——因为dp是逆序枚举的，此时的dp（i，j-w）还没有算出来。这样，

dp[j] = max(dp[j],dp[j - w[i]] + v[i])实际上是把max（dp(i-1,j),dp(i-1,j-w)）保存在dp[j]中，覆盖掉dp[j]原来的dp(i-1,j);

（2）完全背包

有N种物品和一个容量为V的背包。第i种物品有若干件可用，每件费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。

分析：这个问题是01背包的升级版，不同的地方是一种物品可以放很多件，所以在01背包两重循环的前提下，在增加一重循环用来表示取的件数

状态转移方程：

dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i-1][j-k*w[i]]+k*v[i]);

伪代码：

     int w[maxn] = {0,1,2,3,4,5...};
     int v[maxn] = {0,5,4,3,2,1...};
     memset(dp,0,sizeof(dp));
     for(int i = 1 ; i <= n ;i ++ ){
        for(int j = 1 ; j < = sum_w ; j ++ ){
            if(c[i]<=j)
                for(int k = 0 ; k*w[i]<=j ;k ++ )
                dp[i] = max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-k*w[i]]+k*v[i]);
            else
                dp[i] = dp[i-1][j];
        } 
     }
     cout<<dp[n][sum_w]<<endl;

对于完全背包的滚动数组写法，影响dp[j]的是当前i种，而不是前i-1种，所以需要正序

    int w[maxn] = {0,1,2,3,4,5...};
    int v[maxn] = {0,5,4,3,2,1...};
    memset(dp,0,sizeof(dp));  
    for (int i = 1;i <= n;i++) 
    {  
        for (int j = w[i];j <= sum_w ; j++)  
        {  
            dp[j] = max(dp[j],dp[j - w[i]] + v[i]);  
        }  
    }  
    cout<<dp[sum_w]<<endl; 

多重背包

分析：多重背包可以成01背包和完全背包的结合，我们可以将相同的物品看不不同的物品，然后看作是01背包进行求解

代码：

 for(int i=1; i<=n; i++)//每种物品  
        for(int k=0; k<num[i]; k++)//其实就是把这类物品展开，调用num[i]次01背包代码  
            for(int j=m; j>=weight[i]; j--)//正常的01背包代码  
                dp[j]=max(dp[j],dp[j-weight[i]]+value[i]);  

这其实和完全背包的代码一样。。。。真神奇。。

over！