矩阵部分
没考过研这个重新学确实有点慢，开始连解齐次线性方程组和求秩都忘了
证明线性空间证明对加法和数乘封闭
证明线性无关设系数，然后证明他们都为0
验证维数先设基，满足基的两条性质：线性无关、所有向量都能表示，证明线性无关并说明都能表示即可
求多项式在给定基下的坐标，直接设坐标解方程即可（易理解）
求维数题目，条件的矩阵的基础解系，看个数求维度，然后求一组基
过渡矩阵P
是指一组基向量 β \beta β在另一组基 α \alpha α上的坐标，注意要变回向量，需要再乘以基 α \alpha α
基 α \alpha α到基 β \beta β过渡矩阵是指 β = α . P \beta=\alpha.P β=α.P
给定两个基求过渡矩阵
一般由上图基的性质求解，等式左边的基中的向量在等式右边基中的坐标直接可以得出过渡矩阵，1-2的过渡矩阵，2=1P
特殊子空间
在这里面求两个空间的维数与基，零空间只用求齐次方程组的解即可，求解使用初等行变换变成阶梯矩阵
（不用这样取自由变量）直接1001即可
基本行变换不改变其列向量的秩，算出其秩之后直接在原矩阵里面取两个线性无关的列向量即可
和空间与交空间定义，注意和空间不是简单的并集
维数公式，知道任意两个求第三个，知道即可不用证明
求和空间和交空间维数和基
其中和空间求上面所有向量的极大线性无关组即可，一样先求秩再取维数个线性无关的即可
交空间利用空间内同时在两个子空间的条件解方程求基础解系，求这个矩阵变换逐行进行1-2，3，4变成三个三变量的，然后2-3，4两个两变量的依次往下
再带入基求变换后的基
直和
就是没有公共交集的两个子集的和空间
直和例题，还是先求基础解系，然后根据上面的定理3证明其为直和
一些子空间的例题
这个题第二问由于秩小于其列向量，无论如何不能是直和
这个题fA是指A的多项式，乘一下就会发现循环了，最小的循环称为基
线性变换
矩阵A是指不同空间或者同一空间下的坐标变换求A方法如下：
根据定义直接提取
证明线性变换也是证明加法和数乘封闭就行
A矩阵的定义
如果是同一个空间，就是一个基的向量的像在另一个基的坐标，类似P，只不过P没有变换而已
同样做题求A矩阵，这种题一般给定T求A，先把给定的基做T变换，再计算得到A，（这题正好是对角阵）
要熟悉定义，这个是利用两个公式
1、 β β = β α ∗ P \beta_\beta=\beta_\alpha *P ββ=βα∗P
2、 T β β = β β ∗ A T\beta_\beta=\beta_\beta *A Tββ=ββ∗A
第一问就是要求A
第二问，这个题转个弯， β 1 \beta_1 β1是一个基，这个基向量的坐标是[1,0,0]，然后利用下面那个公式转换，然后注意坐标利用P转换是反的，和基不一样
定义：零空间和值空间
求零空间和值空间的一组
A是某个基下的坐标，并牢记公式
(感觉跟之前零空间和列空间差不多样的）
注意这个地方需要乘回基才是向量，不然是坐标，不能作为基
总的来说就是坐标构成A，然后向量构成基，注意区别
相似化简
矩阵谱半径小于1才能收敛