重温线性代数

前言

对于普通的数学工作者而言，掌握矩阵、线性空间的基本性质和用法比领会抽象的概念更实用。数学专业的同学需要全面深入学习近世代数的理论和演绎法则，例如模的概念和运算。
总之，我个人认为，不论是微积分、还是线性代数，或者是统计学，多从有形的例子着手，学习最核心最实用的部分，辅以一定数量的习题练习，是一种有效的学习方法。

向量空间->线性变换->线性变换的表示：矩阵

什么是线性代数？

近世代数的主要内容是集合及这些集合上的代数运算。这个代数运算主要是加法和数乘(注意这里不叫乘法)。加法和数乘都具有线性特征，所以这种代数就叫线性代数。

研究代数结构的性质就是近世代数的内容与任务。主要的代数结构有:群、环、体、域、模等。

线性代数是研究线性空间(向量空间)、模和其上的线性变换以及与
之有关的问题(如线性、双线性、二次函数等)的数学学科。

线性代数的核心思想

任何一个n维空间中的元素，都可以通过一个向量$(x_1,x_2,...,x_n)$来定位，或者说n维空间中每个点，都有一个坐标。有的书上也把这种n维空间叫向量空间。

矩阵是什么？以下几种理解都是正确的：

• 一个矩阵可以表示从n维空间到m维空间的线性变换，或者叫映射
• 一个矩阵对应了一个运动
• 一个矩阵对应了一个坐标系。因为运动既可以看成是点的运动，也可以看成是坐标系的运动。如果选取了某个坐标系作为标准坐标系（或者叫参照坐标系），那其它坐标系的基就可以表示成这个参照系的线性组合，也就是每个基对应一个向量，那所有基的坐标就构成了一个矩阵。

所以，一个矩阵乘以一个向量: $A\ast x$ 就是把一个向量映射到一个新的向量。这个矩阵的每一行对应的是新的坐标系的基的坐标。为什么矩阵乘法定义为向量内积的方式？因为内积代表着新的向量在旧的向量上的投影。

这里需要举个例子才能说得更明白。

基本概念

向量空间，基，维数，坐标。线性变换。
特征值，特征向量，行列式，trace。

矩阵的乘法

为何按照行乘列的方式定义矩阵乘法，而不是对应元素的相乘？
因为矩阵乘法表示为运动的复合，要达到这个目的，唯有按行列相乘的方式定义方可。它的本质是投影和分解。

基本性质

• 行列式为0 = 不满秩 = 不可逆
• 行列式等于特征值的乘积
• 二维矩阵的行列式等于平行四边形的面积，三维矩阵的行列式对应的是平行六面体的体积…更高维度上也可以延伸出同样的类似于“体积”的定义。
• 对称矩阵的特征向量相互之间正交
• 矩阵的迹(trace)等于特征值之和

矩阵的相似

相似矩阵是同一个线性映射，在不同基下的表达形式。
(Jordan)任何复方阵比相似于分块对角阵。

矩阵的计算

矩阵的分解可以简化矩阵的运算。

• A 有n 个相异的特征值, 则A 可对角化。
• 任何n阶酉方阵可以分解为一个酉方阵乘以一个上三角阵

处理矩阵问题方法尽管多种多样，但关键的基本方法有六个，它门是:
第一，矩阵分块的方法;
第二，初等变换的方法;
第三，降阶与升阶的方法;
第四，运用标准单位向最的方法;
第五，运用特征值的方法;
第六，运用矩阵标准形的方法。
这六者之中，核心的思想方法是降阶法。

书籍推荐

• 线性代数五讲
• 线性代数方法导引-屠伯埙
• 高等代数-屠伯埙： 我本科时的线性代数教材，屠伯埙亲自指导上课。