动态规划之爬楼梯

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动态规划(Dynamic Programming)是一种分阶段求解决策问题的数学思想,它通过把原问题分解为简单的子问题来解决复杂问题。

爬楼梯

假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。

每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？

示例 1：

输入：n = 2
输出：2
解释：有两种方法可以爬到楼顶。
1. 1 阶 + 1 阶
2. 2 阶

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示例 2：

输入：n = 3
输出：3
解释：有三种方法可以爬到楼顶。
1. 1 阶 + 1 阶 + 1 阶
2. 1 阶 + 2 阶
3. 2 阶 + 1 阶
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暴力法

我们可以把所有可能爬的阶数进行组合，直接递归求解。

如上图，暴力求解会有很多重复的分支，时间复杂度必然很高。

动态规划：

因为每次可以爬 1 或 2 个台阶，所以到第n阶台阶可以从第n-2或n-1上来。

用f[n]表示爬n阶有几种方法,那么f[n]=f[n-1]+f[n-2];

考虑两种特殊情况

• 当n=1时f(1)=1，即只有一种走法。
• 当n=2时f(2)=2，即有两种走法： 1 阶 + 1 阶或者2 阶

实现

class Solution {
    public int climbStairs(int n) {
        if (n==1){
           return 1;
        }else if (n==2){
            return 2;
        }else{  
            int[] dp=new int[n+1];
            dp[1]=1;
            dp[2]=2;
            for (int i=3;i<=n;++i) {
                dp[i]=dp[i-1]+dp[i-2];
            }
            return dp[n];
        }
    }
}
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复杂度分析：

• 时间复杂度O(n):需要循环一遍才能计算出f(n)。
• 空间复杂度O(n):使用了dp数组记录n阶时候的走法。但是由于在本题目中f(n)只是与前面两项f(n-1)和f(n-2）相关，所以可以直接使用两个变量记录即可，空间复杂度可以降为O(1)

class Solution {
public:
    int climbStairs(int n) {
        int p1 = 0, p2 = 0, current = 1;
        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
            p1 = p2; 
            p2 = current; 
            current = p1 + p2;
        }
        return current;
    }
};
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• 时间复杂度：O(n)
• 空间复杂度：O(1)