算法笔记--动态规划--爬楼梯问题

很经典的小问题，一个人爬楼梯，一次只能爬一阶或两阶，当总共有n阶楼梯时，有几种爬法。

这是一道很明显的递归题目，且无法像一般的动态规划那样列出递推方程，但是思想和动态规划比较类似，从问题的结果出法，逆推整个流程。

思路是这样的，这个人最后成功爬上第n阶之前，只有两种可能，爬了一阶或者两阶，因此此时他总共可拥有的次数，即为他最后爬了一阶情况下原来n-1阶的次数加上最后爬了两阶时原来n-2阶的次数。用这种思路一直向前推，直到原来n-1或n-2为一阶或两阶的情况，这时我们可以计算n=1时，只有一种情况，n=2有两种情况（一下爬了两阶，两次都爬一阶），这就是此递归的结尾。

如果把递归式子写出来，就是dp[n] = dp[n-1] + dp[n-2]

和动态规划递推式子不同的是，这里的dp[]无法在循环中得到值，只能在一次次自我调用中获得数值，因此数组就变成了可以传值的函数，这也是递推和递归的一种巧妙的转变吧。

以下代码用dp[]作为储存子问题最优解（子问题总共的次数）的数组，f（）是用来判断的数组。

#include<iostream>
using namespace std;

int dp[50];
int f(int n){
	if(n == 1||n == 2){
		return n;
	}
	else{
		if(!dp[n-1]) {
			dp[n-1] = f(n-1);
		}
		if(!dp[n-2]){
			dp[n-2] = f(n-2);
		} 
		return f(n-1) + f(n-2);
	}
}



int main(){
	int n, sum;
	cout<<"请输入楼梯总数：";
	cin>>n;
	sum = f(n);
	cout<<"总共有"<<sum<<"种走法"<<endl;
	return 0;
}