简介：本节内容介绍了z变换的线性特性及其应用。灵活定理虽然简单，灵活掌握应用是关键。

关键词： ZT，线性性质

Z变换性质-线性特性

§01 数学原理

z变换的线性特性比较简单，用途比较广泛，也是其他特性的基础。下面我们进行介绍。

z变换是线性变换，满足叠加性与齐次性： $Z\left\{ {x\left[ n \right]} \right\} = X\left( z \right),\,\,\,\,\,\left( {R_{x1} < \left| z \right| < R_{x2} } \right)$ $Z\left\{ {y\left[ n \right]} \right\} = Y\left( z \right),\,\,\,\,\,\,\left( {R_{y1} < \left| z \right| < R_{y2} } \right)$ 那么 $Z\left\{ {ax\left[ n \right] + by\left[ n \right]} \right\} = aX\left( z \right) + bY\left( z \right),\,\,\,\left( {R_1 < \left| z \right| < R_2 } \right)$ 通常情况下 $R_1 = \max \left( {R_{x1} ,R_{y1} } \right),R_2 = \min \left( {R_{x2} ,R_{y2} } \right)$ ，即线性叠加信号z变换的收敛域是参与运算信号z变换收敛域的交集。但叠加后z变换如果出现零极点抵消，那么收敛域有可能扩大。

z变换是线性变换，满足叠加性与齐次性：可以表述为序列的线性组合的z变换，等于各自信号z变换的线性组合。线性叠加信号z变换的收敛域是参与运算信号z变换收敛域的交集。但叠加后z变换如果出现零极点抵消，那么收敛域有可能扩大。这部分后面会通过举例进行说明。

§02 应用举例

下面给出两个基本应用举例。

2.1 双曲余弦和正弦

第一个例子是求双曲余弦和正弦的z变换。这是双曲余弦和正弦的定义表达式，它们都是两个指数序列的叠加。所以根据z变换的线性特性，可以先求取两个单边指数序列的z变换，然后再将它们叠加在一起。

求双曲余弦和双曲正弦的z变换： $x_c \left[ n \right] = \cosh \left( {n\omega _0 } \right)u\left[ n \right] = { {e^{n\omega _0 } + e^{ - n\omega _0 } } \over 2}u\left[ n \right]$ $x_s \left[ n \right] = \sinh \left( {n\omega _0 } \right)u\left[ n \right] = { {e^{n\omega _0 } - e^{ - n\omega _0 } } \over 2}u\left[ n \right]$

◎ 求解： 根据单边指数序列 $a^n u\left[ n \right]$ 的z变换的表达式 $z/\left( {z - a} \right),\left| z \right| > \left| a \right|$ ，所以 $Z\left\{ {e^{n\omega _0 } u\left[ n \right]} \right\} = {z \over {z - e^{\omega _0 } }},\,\,\,\left( {\left| z \right| > \left| {e^{\omega _0 } } \right|} \right)$ $Z\left\{ {e^{ - n\omega _0 } u\left[ n \right]} \right\} = {z \over {z - e^{ - \omega _0 } }},\,\,\left( {\left| z \right| > \left| {e^{ - \omega _0 } } \right|} \right)$
根据 z 变换的线性性 $Z\left\{ {\cosh n\omega _0 u\left[ n \right]} \right\} = Z\left\{ { { {e^{n\omega _0 } + e^{ - n\omega _0 } } \over 2}u\left[ n \right]} \right\} = {z \over {2\left( {z - e^{\omega _0 } } \right)}} + {z \over {2\left( {z - e^{ - \omega _0 } } \right)}}$ ${z\left( {z - \cosh \omega _0 } \right)} \over {z^2 - 2z\cosh \omega _0 + 1}}$

这是双曲余弦求取的过程。对于中间的化简推导就省略了。这里给出了最终的结果。

使用同样的方法，可以得到 $Z\left\{ {\sinh n\omega _0 u\left[ n \right]} \right\} = Z\left\{ { { {e^{n\omega _0 } - e^{ - n\omega _0 } } \over 2}u\left[ n \right]} \right\} = {z \over {2\left( {z - e^{\omega _0 } } \right)}} - {z \over {2\left( {z - e^{ - \omega _0 } } \right)}}$ ${z\sinh \omega _0 } \over {z^2 - 2z\cosh \omega _0 + 1}}$

双曲正弦的求解方式也是一样。这里同样给出了它的结果。
有趣的是，双曲余弦和正弦的z变换与三角余弦和正弦序列的z变换表达式的形式上基本是一样的。

2.2 有限长序列z变换

第二个例子用于说明序列的线性叠加后，有可能引起z变换的收敛域增加的情况。比如已知如下两个序列x[n],h[n]，求它们的差y[n]的z变换，并根据Y(z)的零极点分布，讨论Y(z)的收敛域。

已知： $x\left[ n \right] = a^n u\left[ n \right],\,\,h\left[ n \right] = a^n u\left[ {n - N} \right]$ 求：
（1） $Y\left( z \right) = Z\left\{ {y\left[ n \right]} \right\}$ ；
（2） 绘制出 $Y\left( z \right)$ 的零、极点图；（假设 $N = 8$ ）；
（3） 讨论 $Y\left( z \right)$ 的收敛域；

◎ 求解：

下面我们讨论这个例题的三个问题。

（1） $X\left( z \right) = {1 \over {1 - az^{ - 1} }},\,\,\left| z \right| > \left| a \right|$ $H\left( z \right) = \sum\limits_{n = - \infty }^{ + \infty } {h\left[ n \right]z^{ - n} } = \sum\limits_{n = N}^\infty {a^n z^{ - n} } = { {a^N z^{ - N} } \over {1 - az^{ - 1} }},\,\,\left| z \right| > \left| a \right|$ 所以： $Y\left( z \right) = X\left( z \right) - H\left( z \right) = { {1 - a^N z^{ - N} } \over {1 - az^{ - 1} }} = { {z^N - a^N } \over {z^{N - 1} \left( {1 - a} \right)}},\,\,\,\left| z \right| > 0$

第一小问比较容易回答。 x[n],h[n]都是等比指数序列，所以很容易通过z变换公式分别求出X(z),H(z)。根据z变换的线性性， Y(z)等于X(z)-H(z)。这是给出的结果。
请大家注意，结果的收敛域为|z|>0，比起X(z), H(z)的收敛域来说，实际上扩张了。之所以这样，请看下面的零极点分析。

（2） 在N=8情况下绘制零极点图。

极点： $a,\,\,z = 0$ （N-1）阶
零点：根据 $z^N - a^n = 0$ ，所以存在 $z_k = \left| a \right|e^{j{ {2\pi k} \over N}} ,k = 0,1, \cdots ,N - 1$ N个零点。

其中极点、零点都有 $z = a$ ，所以 $z = a$ 是一个可去奇点。下面给出了 N=8 时对应的零极点分布示意图。

▲ 图2.2.1 Y(z)的零极点分布示意图

▲ 图2.2.1 Y(z)的零极点分布示意图

根据Y(z)的表达式，可以看到它具有两个极点，一个是为与z=a处的一阶极点；另外一个是位于原点处的N-1阶极点。它的零点是这个N次方程的解，在复数域内，它具有N个根，分别是|a|exp(j2 pi k / N)， k=0,1,…,N-1。

这是绘制的N=8时，对应的零点与极点的分布图。可以看到z=a处发生了零极点抵消，所以z=a是一个可去奇点。最终Y(z)的极点只剩下在原点处的N-1阶极点。

这也使得Y(z)的收敛域比起原来两个序列x[n],h[n]的z变换收敛域扩充了。

（3） 由于 $y\left[ n \right]$ 是一个有限长的序列，所以 $Y\left( z \right)$ 的收敛域是整个 z 平面，除去 $z = 0$ （原点）之外。

这个例题的第三问，在上面分析结果的零极点分布的时候已经做了回答。这也符合任意有限长序列的z变换的收敛域的情况。有限长序列z变换收敛域为整个z平面，对于原点和无穷远点需要根据序列是否具有n>0，以及n<0的项来分别讨论。这里就不在重复了。

§03 知识关联

应用线性可以帮助我们将复杂信号拆解成简单信号，分别求取各自的z变换之后，再合成原来信号的z变换。

同样，在利用因式分解方法进行z反变换的过程中，实际上也是暗含着使用了z变换的线性特性。

3.1 证明卷积定理

序列的卷积运算是一个复杂的运算，它包含着反褶、位移、相乘和累加。

$y\left[ n \right] = x\left[ n \right] * h\left[ n \right] = \sum\limits_{m = - \infty }^{ + \infty } {x\left[ m \right]h\left[ {n - m} \right]}$

根据线性，可以分别求取每一项的z变换

$Z\left\{ {x\left[ m \right]h\left[ {n - m} \right]} \right\} = x\left[ m \right]Z\left\{ {h\left[ {n - m} \right]} \right\} = x\left[ m \right] \cdot z^{ - m} H\left( z \right)$

上面最后一步是用到了双边z变换的位移特性。然后再根据z变换的线性特性，将上述每一项都累加在一起，便可以得到卷积后序列的z变换了。

$Y\left( z \right) = \sum\limits_{m = - \infty }^{ + \infty } {x\left[ m \right] \cdot z^{ - m} \cdot H\left( z \right)} = X\left( z \right) \cdot H\left( z \right)$

上面最后一步，将H(z)提出，剩下的就是关于x[n]的z变换，所以它们卷积后的z变换等于两个序列各自z变换的乘积。这就是赫赫有名的卷积定理。后面我们会继续讨论到。

3.2 累加交换条件

Interchanging of order of summation
Why can we interchange summations? ：简单的讨论，给出了对于所有非负可以交换的条件。
Exchange of Order of Summation

应用z变换的线性特性蕴含着我们重新交换累加和运算。

$Z\left\{ {\sum\limits_{k = 1}^N {a_k x_k \left[ n \right]} } \right\} = \sum\limits_{n = - \infty }^{ + \infty } {\left( {\sum\limits_{k = 1}^N {a_k x_k \left[ n \right]} } \right)z^{ - n} } = \sum\limits_{k = 1}^N {a_k \sum\limits_{n = - \infty }^{ + \infty } {x_k \left[ n \right]z^{ - n} } } = \sum\limits_{k = 1}^N {a_k X\left( k \right)}$

此时，如果双重累加中的元素满足绝对可和，上述交换是成立的。 $\sum\limits_{k = 1}^N {\sum\limits_{n = - \infty }^{ + \infty } {\left| {a_k x_k \left[ n \right]z^{ - n} } \right|} } < + \infty$ 如果 z 处在每个序列的z变换收敛域内，上面双重累加满足绝对可和。z变换交换律是成立的。

下面举一个奇怪的例子，来说明累加和交换中出现的问题。比如下面两个序列： $x\left[ n \right] = n \cdot u\left[ n \right],\,\,y\left[ n \right] = \left( { - 1} \right)^n n \cdot u\left[ n \right]$ 如果令 w[n]=x[n]+y[n]，那么w[n]的z变换为： $W\left( z \right) = X\left( z \right) + Y\left( z \right)$ 可以比较方便求出 X(z),Y(z)： $X\left( z \right) = {z \over {\left( {z - 1} \right)^2 }},\,\,Y\left( z \right) = { { - z} \over {\left( {z + 1} \right)^2 }}$ 根据w[n]的表达式，可以知道它实际上为4nu[n]。 $w\left[ n \right] = n \cdot u\left[ n \right] + n \cdot \left( { - 1} \right)^n u\left[ n \right] = \left[ {1 + \left( { - 1} \right)^n } \right] \cdot n \cdot u\left[ n \right]$ $\left\{ {4,8,12,16, \cdots } \right\} = 4 \cdot n \cdot u\left[ n \right]$ 所以可以得到 $W\left( z \right) = { {4z} \over {\left( {z - 1} \right)^2 }}$ 那么就有如下表达式： $\over {\left( {z - 1} \right)^2 }} + { { - z} \over {\left( {z + 1} \right)^2 }} = { {4 \cdot z} \over {\left( {z - 1} \right)^2 }}$ 从这个表达式考来看，除非 z=0，否则不会成立。但 z=0 又不在上述z变换的收敛域内。所以这就出现了矛盾。

因此，这也说明 z 变换的交换性，也不是针对什么序列都能够满足的。在操作的过程中，需要小心。特别值得说明的是，上面表达式经过修改可以获得如下的表达式： $\over 3} \cdot {z \over {\left( {z + 1} \right)^2 }} = {z \over {\left( {z - 1} \right)^2 }}$ 将其中的 z 使用 1 替换，方程式的左边等于 -1/12，右边实际上就是累加和 $\sum\limits_{n = 1}^\infty n$ 因此，这也就出现了所有的自然数的和等于 -1/12 的奇怪的结论。

关于这个问题的讨论，在网络上有很多视频都在做各种的讲解。本质上都和累加和是否允许交换的条件有关系。

▲ 图3.2.1 讲解自然数的和的短视频

▲ 图3.2.1 讲解自然数的和的短视频

§04 思考练习

下面给出了两个利用z变换的线性特性求解序列z变换的思考题。

第一小题： 求下面序列的z变换

$\left( { {1 \over 2}} \right)^n u\left[ n \right] + \left( { {1 \over 3}} \right)^n u\left[ n \right]$

第一个小题比较简单，求取两个指数序列之和的z变换。可以分别求取各自的z变换，然后再叠加在一起即可。

第二小题： 求下列序列的在变换

$A\cos \left( {n\omega _0 + \varphi } \right) \cdot u\left[ n \right]$

第二个小题可以借助于三角恒等式，将cos函数展开成sin,cos的形式，然后再利用cos,sin的z变换公式将其进行求取合并即可。

※ 总结 ※

本节内容介绍了z变换的线性特性及其应用。灵活定理虽然简单，灵活掌握应用是关键。

■ 相关文献链接:

● 相关图表链接:

图2.2.1 Y(z)的零极点分布示意图
图3.2.1 讲解自然数的和的短视频

SS2022-Z变换-性质-什么是ZT线性性质？

§01 数学原理

§02 应用举例

2.1 双曲余弦和正弦

2.2 有限长序列z变换

§03 知识关联

3.1 证明卷积定理

3.2 累加交换条件

§04 思考练习

※ 总结 ※

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SS2022-Z变换-性质-什么是ZT线性性质？

§01 数学原理

§02 应用举例

2.1 双曲余弦和正弦

2.2 有限长序列z变换

§03 知识关联

3.1 证明卷积定理

3.2 累加交换条件

§04 思考练习

※ 总 结 ※

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※ 总结 ※