【笔记】2.z变换相关概念及其性质

等比数列求和
$$S(n)=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$$
$$S(\infty )=\frac{a_1}{1-q}$$

拉普拉斯变换
$X(s)=L[x(n)]={\int }_{-\infty }^{\infty }x(n)e^{-st}dt$

z变换

$$z=e^{sT}$$
$$X(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(n)z^{-n}$$
零点：使得值为0的z值
极点：使得值趋向$\infty$的z值

z变换的收敛域

对于给定的序列$x(n)$，使得$X(z)$收敛，即|$X(z)$|< $\infty$ 的所有 $z$ 值集合称作$X(z)$的收敛域
$$|X(z)|=\sum _{n=-\infty }^{\infty }|x(n)z^{-n}|=M<\infty$$
注意：求的应该是 $|z|$ 的范围

典型z变换的收敛域

0. 有限长序列
   $$0<|z|<\infty$$

1. 右边序列
   $$R_{x_{-}}<|z|<\infty$$

2. 左边序列
   $$-\infty <|z|<R_{x_{+}}$$

3. 双边序列
   $$R_{x_{-}}<|z|<R_{x_{+}}$$

$z$变换的性质

1. 线性
2. 移位
   • 双边序列
     $$\mathcal{L}[x(n-m)]=z^{-m}X(z)$$
     $$\mathcal{L}[x(n+m)]=z^{m}X(z)$$
   • 单边
3. z域的尺度变换性
   $$\mathcal{L}[x(n)]=X(z),R_{x_{-}}<|z|<R_{x_{+}}$$
   $$\mathcal{L}[a^{n}x(n)]=X(\frac{z}{a}),|a|R_{x_{-}}<|z|<|a|R_{x+}$$
4. 序列的线性加权
   $$\mathcal{L}[nx(n)]=-z\cdot \frac{d}{dz}X(z)$$
   5.序列共轭
   $$\mathcal{L}[x^{\ast }(n)]=X^{\ast }(z^{\ast })$$
5. 序列反褶
   $$\mathcal{L}[x(-n)]=X(\frac{1}{z})$$
   $$\mathcal{L}[x(-n-m)]=(\frac{1}{z}{)}^{-m}X(\frac{1}{z})=z^{m}X(\frac{1}{z})$$
6. 初值定理

对因果序列来说：
$$x(0)=li{m}_{x\to \infty }X(z)$$
8. 终值定理
条件：$x(n)$为因果序列，并且X(z)的极点处于单位圆|z|=1以内(单位圆上最多在$z=1$处可有一阶极点)
$$x(\infty )=li{m}_{x\to \infty }=li{m}_{z\to 1}[(z-1)X(z)]=Res[X(z){]}_{z=1}$$
否则无法使用终值定理